物体从球面顶点下滑问题的研究
2012-01-23刘梅
刘梅
(安徽师范大学物理与电子信息学院 安徽 芜湖 241000)
杨玉超
(安徽省淮南市第十三中学 安徽 淮南 232072)
冯霞
(安徽师范大学物理与电子信息学院 安徽 芜湖 241000)
在物理教学中，常见到质点自光滑球面顶端滑下的理想问题.对于物体与球面间有摩擦的实际问题，如何分析？有什么规律？本文将采用量纲分析、全微分积分法进行研究，并分析质点自光滑球面顶端滑下的理想问题的几种情况．
1 “物体从球面顶点下滑” 的一般问题
【例1】如图1所示，一个质量为m的物块，在重力作用下自一半径为r的固定球面的最高点无初速度滑下.若质点与球面间的摩擦因数为μ，求质点离
开球面时，它与球心的连线和竖直方向夹角θ所满足的关系？
图1
解析：(1)量纲分析法
质点下滑过程中，假定θ与质量m，半径r，重力加速度g，摩擦因数μ有关，即
θ=f(m,r,g,μ)
因为θ是一个无量纲的量，无法把四个量有机结合形成一个无量纲的量，因此θ与μ一个参量有关，即
θ=f(μ)
(2)全微分积分法
物体下滑过程中，在球面上受重力、支持力和摩擦力，由于其速率逐渐增加，所以支持力逐渐减小直到脱离球面时减小到零．由牛顿第二定律得
法向方程
(1)
由动能定理
(2)
消去N得
dv2-2(μv2+grsinθ-μgrcosθ)dθ=0
(3)
式(3)不是全微分方程.把式(3)记为
P(v2,θ)=1
Q(v2,θ)=-2(μv2+grsinθ-μgrcosθ)
设有f(θ)形式的积分因子
以f(θ)乘式(3)两端,得全微分方程
e-2μθdv2-2e-2μθ(μv2+grsinθ-μgrcosθ)dθ=0
(4)
e-2μθdv2-2e-2μθμv2dθ-2e-2μθgrsinθdθ+
2e-2μθμgrcosθdθ=0
d(e-2μθv2)-2e-2μθgrsinθdθ+2e-2μθμgrcosθdθ=0
对上式积分，得方程的通解为
(5)
且当t=0时，将θ=0,v=0代入上式，可得
(6)
所求方程的通解为
(7)
质点离开球面时，N=0，由式(1)得
v2=grcosθ
将上式 代入式(7)得
e-2μθ(3cosθ+6μsinθ)=2(1-2μ2)
(8)
即θ所满足的关系
3cosθ+6μsinθ=2(1-2μ2)e2μθ
(9)
式(9)符合量纲分析得到的结论即θ只与μ有关．
讨论：若质点与球面间无摩擦μ=0时得
e2μθ=1
(10)
3cosθ=2
(11)
即θ所满足的关系
(12)
2 物体从球面顶点下滑的理想化问题
【例2】小物体自半径为R的光滑球面顶点从静止开始下滑，求：
(1)物体脱离球面时它与球心的连线与竖直方向夹角θ;
(2)小物体落到地面时的速度v.
解析：小物体自光滑球面顶点从静止开始下滑，从运动学角度看，物体先做圆周运动，脱离后做抛体运动.从动力学角度看，物体在球面上受重力和支持力，物体下滑过程中，由于其速率逐渐增加，所以支持力逐渐减小直到脱离球面减小到零.小物体即将脱离球面的条件是N=0．
解法一：(1)小物体自光滑球面顶点从静止开始下滑，到即将脱离球面，支持力不做功，只有重力做功，机械能守恒．以球面顶点为势能零点，设物体即将脱离球面的速度为v1，则
(13)
由牛顿第二定律，得
(14)
物体脱离球面条件
N=0
(15)
解得
(16)
(2)设小物体落到地面时的速度为v，由机械能守恒得
解得
(17)
物体脱离后做抛体运动，水平方向分速度不变
(18)
设小物体落地时速度与水平方向的夹角为α，所以
(19)
(20)
解法二：对于球面上运动的质点，运动轨迹的切线方向上有
(21)
法线方向上有
(22)
由式(21)得
其中，s为运动路程，亦即半圆柱周围弧长.即
vdv=gsinθds
又因为Rdθ=ds,即
vdv=gsinθRdθ
(23)
设质点刚离开圆柱面时速度为v，离开点与竖直方向夹角为θ，对式(23)两边积分，得
(24)
刚离开圆柱面时N=0 即
(25)
联立式(24) 、(25) 得
【例3】如图2所示，在光滑水平面上放置一半径为R、质量为M的光滑半球.质量为m的小滑块自球面顶部由静止开始受微小扰动下滑，求：当m=M时，滑块滑至何处(θ为多少)时脱离球面？
图2
解析：滑块脱离半球的瞬间，相对球面的速度为u，沿球面切向；半球对地速度为v，滑块脱离半球后，半球速度不变．
(26)
以半球、滑块为系统，水平方向不受外力，动量守恒,则
m(ucosθ-v)-Mv=0
(27)
由系统机械能守恒
(28)
由式(26)～(28)得
cos3θ-6cosθ+4=0
(29)
图3
(2)凡能在O点脱离滑道的小滑块，其落水点到O2的距离为多大？
