准洛伦兹变换与平面电磁波方程—— 多普勒效应

杨步恩

（大连理工大学物理与光电学院 辽宁 大连 116024）

1905年，爱因斯坦的《论动体的电动力学》阐明了电磁场的洛伦兹变换，以及相对论多普勒效应［1］.

今天回顾历史，将以新的角度来考察该问题，即运用互为共轭的一对变换代替洛伦兹变换，通过“比例中值定理”完成电磁场的洛伦兹变换，给出动系的平面电磁波方程，电磁辐射能流和相对论多普勒效应公式.除此，指明应用极隧射线实验来检验前述论断正确与否的可能性.

1 电场和磁场的共轭变换

根据狭义相对论的基本假设：光速不变性和相对性原理，能够得到一对互为共轭的变换.再通过比例中值定理完成洛伦兹变换.在我们看来，这是任何物理量在变换中出现根号的根本涵义.

如图1所示，设两个参考系，动系K′相对于静系K运动.当原点O′与O重合时，自原点发出光信号，并计时（t＝t′＝0）.在t时刻，光信号波面到达P点.

图1 K′系以速度v运动

因此，在每个参考系的观察者看来，下述关系必定成立.从此式出发，依据相对论的基本假设，导出一对共轭变换

以式（1）、（2）变换为依据，可以证明电场E和磁场B也有一对互为共轭的变换

然后，再根据比例中值定理，即

完成洛伦兹变换

2 静系的平面电磁波方程

如果平面电磁波在既无自由电荷，又无传导电流的真空中传播，那么电场E和磁场B只是坐标x和时间t的函数.在此情况下，梯度符号!即蜕化为简单形式

如此，麦氏方程组简化为一维形式

其中D＝ε0E，B＝μ0H.

由式（9）可以证明随时间t变化的电磁场分量Ex＝0，Hx＝0，而其余四个分量Ey，Hz以及Ez，Hy均满足波动方程.如

分量Ez和Hy也满足相同形式的方程.

电磁波的波速

如果方程（10）的解是简谐电波

那么，与其伴随的磁波，也必为简谐波

由此可见，平面电磁波的振幅关系是

平面电磁波的能流矢量

3 动系的平面电磁波振幅

根据电磁规律的协变性可知，动系的平面电磁波也有与式（9）相同形式的方程，即

其中D′＝ε0E′，B′＝μ0H′.

由式（17）得动系的正向平面电磁波方程

下面将对式（18）作共轭变换.由式（3）～ （6），得动系的正向平面电磁波振幅

因此，用比例中值定理完成振幅E′0，H′0的洛伦兹变换为

同理，得动系中逆向平面电磁波方程

对式（22）进行共轭变换，得振幅为

因此，在洛伦兹变换下，振幅的变换为

4 电磁波相位的不变性与多普勒效应

下面根据电磁波相位变换的不变性原理，推导相对论多普勒效应公式.

对逆向传播的电磁波而言，相位关系是

分以下三种情况讨论.

（1）相位的A变换

式中的t′＋和x′＋，按式（1）进行变换，则得

因此，角频率

同理，对逆向传播的电磁波相位，由

（2）相位的B变换

由式（26），知道动系的角频率

根据式（27），得到动系中逆向电磁波的角频率

（3）电磁波相位的洛伦兹变换

根据此前给出的角频率共轭变换，运用中值定理来完成洛伦兹变换.

由式（29）和（31），得到正向电磁波频率为

同理，由式（30）和（32）得到逆向电磁波的频率

上述频率式（33）和（34），还可以直接对相位

进行洛伦兹变换而得到.

5 动系的平面电磁波方程

根据前述振幅和相位的共轭变换结果，给出动系的正向平面电磁波方程.

A变换，由式（19）得

B变换，由式（20）得

洛伦兹变换，根据比例中值定理得

同理，得到逆向传播的电磁波方程

A变换）

B变换

洛伦兹变换

6 动系的平面电磁波能流矢量

根据电磁规律的协变性可知，动系的电磁波能流矢量为

对式（41）进行共轭变换，由式（35）和（36），得A，B变换分别为

然后，由中值定理给出洛伦兹变换下，正向电磁波能流矢量为

同理，对逆向传播的平面电磁波，也有形式相同的能流矢量

因此，洛伦兹变换下，逆向电磁波能流矢量为

7 结论

（1）静系的平面电磁波方程

（2）动系的平面电磁波方程

A变换

B变换

洛伦兹变换

（3）动系中逆向传播的平面电磁波方程

A变换

B变换

洛伦兹变换

（4）动系的正向平面电磁波能流

（5）动系中逆向平面电磁波能流

8 结束语

根据电磁波相位不变性原理，也可以得到多普勒效应的光频变换

早在相对论创立之初，爱因斯坦阐明测量极隧射线的发射或吸收光频，取决于离子的运动速度，以及光源至接收器连接线的方向（即θ角）.因此，借助此现象可用于检验“相位不变性”原理及推论.计算多普勒效应纵向光谱线的位移

如果以λ为中心，那么纵向谱线移动为

因此，得纵向光谱线移动

洛伦兹变换

因此，得以λ为中心的纵向谱线移动

上述结论，需要用实验来证实.

1 爱因斯坦著.范岱年，等译.论动体的电动力学（文集第二卷）.北京：商务印书馆，1977.83