随机序压缩映射的不动点定理

蔺海新

(河西学院 数学与统计学院,甘肃 张掖 734000)

1 引言及引理

近年来，很多学者研究了实Banach空间中非线性映射的不动点定理[1-4], 本文引入了几种按序压缩的随机序压缩型映射,在没有连续性条件和紧性条件的假设下，证明了相应的不动点定理及不动点的存在性和惟一性.

设(Ω,∑,P)是一个完备的概率空间,E是可分的Banach空间或Polish空间(即可分完备度量空间),ε是E上的Borelσ-代数,(E,ε)为可测空间.

算子A:Ω×E→E称为随机算子，若对任意的

x∈E,A(ω,x)为E-值随机变量，即对E中任意闭集S，集合{ω∈Ω|A(ω,x)∈S}∈∑.特别地若A(ω):E→E对任意的x∈E，A(ω)x为E-值随机变量，则A(ω)为一随机算子.

非空闭的凸集P⊂E为E中的锥, 如果

(ⅰ)∀x∈P,λ>0⟹λx∈P;(ⅱ)x∈P,

-x∈P⟹x=θ.由P导出的E中半序“≤”如下：∀x,y∈E,x-y∈P⟺y≤x. 若存在常数N>0使得θ≤x≤y⟹‖x‖≤N‖y‖,∀x,y∈E,则称锥P为正规的.N为正规常数. 对E中由P确定的半序关系“≤”，若任意u,v∈E，有u≤v或v≤u之一成立，则称u和v是可比较的.

设A(ω,x):Ω×E→E为随机算子, 若存在E值随机变量x(ω)使A(ω,x(ω))=x(ω),∀ω∈Ω，则称x(ω)为随机算子A(ω,x)的随机不动点.

若任意u0∈E,v0∈E,有u0≤v0，称[u0,v0]={x|u0≤x≤v0}为E中的序区间.

引理1[2]对所有的n,un和vn是可比较的，且un→u0,vn→v0(n→∞),则u0和v0是可比较的.

2 不动点定理

定理1 设E是实Banach空间，P是E中的正规体锥，正规常数为N，[u0,v0]是E中的序区间，随机映射A:Ω×[u0,v0]→[u0,v0]满足：存在常数0<β<1，使得对任意的u,v∈[u0,v0]，若u和v是可比较的，则A(ω,u)与A(ω,v)也是可比较的，且

(A(ω,v)-A(ω,u))∨(A(ω,u)-A(ω,v)≤

β((v-u)∨(u-v)),

(1)

称A是β-序压缩的,β为序压缩常数，又若对任意x0∈[u0,v0]，有x0与A(ω,x0)也是可比较的, 则A存在惟一不动点, 迭代序列{xn=A(ω,xn-1)},

(n=1,2,…)收敛于A的惟一不动点.

证明定义迭代序列

u1=A(ω,u0),u2=A(ω,u1),…,un+1=A(ω,un),…,

v1=A(ω,v0),v2=A(ω,v1),…,vn+1=A(ω,vn),…,

则{un},{vn}⊂[u0,v0].由u0

θ≤(un-vn)∨(vn-un)=

(A(ω,un-1)-A(ω,vn-1))∨(A(ω,vn-1)-A(ω,un-1))≤

β((un-1-vn-1)∨(vn-1-un-1))≤

β2((un-2-vn-2)∨(vn-2-un-2))≤…≤

βn((u0-v0)∨(v0-u0))

由P的正规性得‖un-vn‖≤βnN‖u0-v0‖.又由u0和u1是可比较的，可得对所有的n,un和un+1是可比较的，且

θ≤(un-un+1)∨(un+1-un)=

(A(ω,un-1)-A(ω,un))∨(A(ω,un)-A(ω,un-1))≤

β((un-1-un)∨(un-un-1))≤

β2((un-2-un-1)∨(un-1-un-2))≤…≤

βn((u0-u1)∨(u1-u0)).

由P的正规性得‖un+1-un‖≤βnN‖u1-u0‖.因为0<β<1,所以{un}是[u0,v0]中的Cauchy列. 同理{vn}也是[u0,v0]中的Cauchy列，由E的完备性，知

∃u*,v*∈[u0,v0]⊂E使得un→u*,vn→v*(n→∞),则有

从而u*=v*.

对n

θ≤(A(ω,un)-A(ω,u*))∨(A(ω,u*)-A(ω,un))≤

β((un-u*)∨(u*-un)).

所以A(ω,un)和A(ω,u*)是可比较的，故有

‖un+1-A(ω,u*)‖=‖A(ω,un)-A(ω,u*)‖≤

βN‖un-u*‖≤βnN‖u1-u*‖→0,(n→∞).

所以un+1→A(ω,u*),(n→∞),则A(ω,u*)=u*，即u*是A(ω,x)的一个不动点.

假设还存在w*∈[u0,v0]是A(ω,x)的一个不动点，则

‖w*-u*‖≤‖w*-un‖+‖un-u*‖≤

βnN(‖w*-u0‖+‖u0-u*‖)→0,(n→∞),

所以u*=w*，不动点惟一.

∀x0∈[u0,v0]，由x0和u0是可比较的知A(ω,x0)与A(ω,u0)是可比较的，故xn与un是可比较的，由引理1知xn与u*是可比较的且

θ≤(A(ω,xn)-A(ω,u*))∨(A(ω,u*)-A(ω,xn))

≤βnN((x0-u*)∨(u*-x0)).

故‖A(ω,xn)-A(ω,u*)‖≤βnN‖x0-u*‖→0,(n→∞),得A(ω,xn)→u*,(n→∞).

定理2 设E是Banach空间，P是E中的正规锥，正规常数为N，[u0,v0]是E中的序区间，随机映射A:Ω×[u0,v0]→[u0,v0]满足:∀u,v∈[u0,v0], 若u和v是可比较的, 则A(ω,u)和A(ω,v)也是可比较的，且存在常数0<λ<1/2, 若u和A(ω,u)、v和A(ω,v)是可比较的，则有

(A(ω,u)-A(ω,v))∨(A(ω,v)-A(ω,u))≤

λ((A(ω,u)-u)∨(u-A(ω,u))+

A(ω,v)∨(v-A(ω,v))).

(2)

则A存在惟一不动点，且对∀x0∈[u0,v0]，迭代序列{xn=A(ω,xn-1)},(n=1,2,…)收敛于A的惟一不动点.

证明定义迭代序列

u1=A(ω,u0),u2=A(ω,u1),…,un+1=A(ω,un),…,

v1=A(ω,v0),v2=A(ω,v1),…,vn+1=A(ω,vn),…,

则{un},{vn}⊂[u0,v0].u0≤u1，根据已知，对所有的n，un和un+1是可比较的，则

θ≤(un+1-un)∨(un-un+1)=

(A(ω,un)-A(ω,un-1))∨(A(ω,un-1)-A(ω,un)))≤

λ((A(ω,un)-un)∨(un-A(ω,un))+

(A(ω,un-1-un-1)∨(un-1-A(ω,un-1)))=

λ((un+1-un)∨(un-un+1)+

(un-un-1)∨(un-1-un)).

(un+1-un)∨(un-un+1)≤

βn((u1-u0)∨(u0-u1)).n=0,1,…

由0<λ<1/2得0<β<1，所以‖un+1-un‖≤βnN‖u1-u0‖，因此{un}是Cauchy列.同理{vn}也是[u0,v0]中的Cauchy列，由E的完备性，知∃u*,v*∈[u0,v0]⊂E使得un→u*,vn→v*(n→∞)由于u0和v0是可比较的，根据定理2的条件(2)用数学归纳法得对所有的n，un和vn是可比较的，且

θ≤(un-vn)∨(vn-un)=

(A(ω,un-1)-A(ω,vn-1))∨(A(ω,vn-1)-A(ω,un-1))≤

λ((A(ω,un-1)-un-1)∨(un-1-A(ω,un-1)+

(A(ω,vn-1-vn-1)∨(vn-1-A(ω,vn-1)))=

λ((un-un-1)∨(un-1-un)+

(vn-vn-1)∨(vn-1-vn)).≤

λβn-1((u1-u0)∨(u0-u1)+

(v1-v0)∨(v0-v1)).

‖un-vn‖≤λβn-1N(‖u1-u0‖+‖v1-v0‖)

θ≤‖u*-v*‖=

从而u*=v*.

对于∀n

θ≤(A(ω,un)-A(ω,u*))∨(A(ω,u*)-A(ω,un))≤

λ((A(ω,un)-un)∨(un-A(ω,un))+

(A(ω,u*)-u*)∨(u*-A(ω,u*))),

A(ω,un)=un+1→u*,un→u*,(n→∞),

(A(ω,u*)-u*)∨(u*-A(ω,u*))≤

λ((A(ω,u*)-u*)∨(u*-A(ω,u*))).

所以A(ω,u*)=u*,u*是A的一个不动点.

若w*也是A的一个不动点，w*∈[u0,v0]则u0和w*是可比较的，进一步un和w*是可比较的，当n→∞时由引理1得u*和w*是可比较的，所以

θ≤(w*-u*)∨(u*-w*)=

(A(ω,w*)-A(ω,u*))∨(A(ω,u*)-A(ω,w*))≤

λ((A(ω,w*)-w*)∨(w*-A(ω,w*))+

(A(ω,u*)-u*)∨(u*-A(ω,u*)))=θ

所以w*=u*，不动点惟一.

对∀x0∈[u0,v0],由x0和u0是可比较的,A(ω,x0)与A(ω,u0)也是可比较的，有

θ≤(xn-un)∨(un-xn)=

(A(ω,xn-1)-A(ω,un-1))∨(A(ω,un-1)-A(ω,xn-1))≤

λ((A(ω,xn-1)-xn-1)∨(xn-1-A(ω,xn-1)+

(A(ω,un-1-un-1)∨(un-1-A(ω,un-1)))≤

λβn-1((A(ω,x0)-x0)∨(x0-A(ω,x0))+

(A(ω,u0)-u0)∨(u0-A(ω,u0))).

‖xn-un‖≤λβn-1N(‖x1-x0‖+

‖u1-u0‖)→0,(n→∞).

故xn→u*应用同样的方法可以得出下列序压缩定理，证明略.

定理3 设E是Banach空间,P是E中的正规锥，正规常数为N，[u0,v0]是E中的序区间,随机映射A:Ω×[u0,v0]→[u0,v0]满足：∀u,v∈[u0,v0]若u和v是可比较的，则A(ω,u)和A(ω,v)也是可比较的，且存在常数0<λ<1,又若u和A(ω,v)、v和A(ω,u)是可比较的，则有

(A(ω,u)-A(ω,v))∨(A(ω,v)-A(ω,u)≤

λ((A(ω,u)-v)∨(v-A(ω,u))+

(A(ω,v)-u)∨(u-A(ω,v))).

则A存在惟一不动点，且对∀x0∈[u0,v0]，迭代序列{xn=A(ω,xn-1)},(n=1,2,…)收敛于A的惟一不动点.

定理4 设E是Banach空间,P是E中的正规锥，正规常数为N，[u0,v0]是E中的序区间,随机映射A:Ω×[u0,v0]→[u0,v0]满足：存在非负常数a,b,c,有a+b+c<1,∀u,v∈[u0,v0],若u和v是可比较的，则A(ω,u)和A(ω,v)也是可比较的，又若u和A(ω,v)、v和A(ω,u)是可比较的，则有

(A(ω,u)-A(ω,v))∨(A(ω,v)-A(ω,u))≤

a((A(ω,u)-u)∨(u-A(ω,u))+b((A(ω,v)-v)

∨(v-A(ω,v))=c((u-v)∨(v-u)).

则A存在惟一不动点，且对∀x0∈[u0,v0]，迭代序列{xn=A(ω,xn-1)},(n=1,2,…)收敛于A的惟一不动点.

参考文献：

[1]李志龙.不连续随机算子随机不动点定理及其应用[J].数学物理学报,2010,30A(2).

[2]张宪.序压缩映射的不动点定理[J].数学学报,2005,48(5).

[3]李国祯.随机单调算子的随机不动点定理[J].江西师范大学学报,2003,28(2).

[4]郑丽君.一些新的序压缩映射的不动点定理[J].郑州大学学报,2007,39(1).