一类具有梯度项的超定边值问题中解的对称性＊

方钟波，王安娜，张临杰

（中国海洋大学数学科学学院，山东青岛266100）

一类具有梯度项的超定边值问题中解的对称性＊

方钟波，王安娜，张临杰

（中国海洋大学数学科学学院，山东青岛266100）

利用经典的平行平面移动法研究一类具有梯度项的拉普拉斯方程超定问题中解的对称性，得到此类超定边值问题解和区域对称的充分条件。结果发现，解和区域的对称性依赖于非齐次项关于空间变量的连续性、对称性及关于梯度变量偏导数的连续性。

拉普拉斯方程；超定问题；对称性

0 引言

本文考虑超定边值问题

其中x＝（x1，x′）∈Rn，x′＝（x2，x3，…，xn），υ是Ω上的单位外法向量。这里Ω是Rn中C2边界的有界区域，f是1个C1且满足一定条件的函数，c是1个可微函数。本文约定：xi（i＝1，…，n）表示向量分量，x0表示Rn中的一点，对于函数u而言，分别表示偏导数。

1971年J.Serrin在文献［1］中描述直管道中的不可压缩黏性流体运动现象时研究了f≡1，c（x′）≡常数情形的超定边值问题，他用平行平面移动法揭示了管子为什么是圆形的问题。之后，又有许多学者用平行平面移动法研究了只有1个临界点的p－Laplace方程包含在内的其它超定问题解的对称性［2－3］。近年来在对称性问题的研究上出现了一些新的方法，比如：Steiner对称化、区域导数法、几何法等［4－8］。但是对当f包含梯度时超定边值问题的研究甚少。本文将采用经典的平行平面移动法来研究带梯度项的超定边值问题解及区域的对称性问题。和uij＝

1 准备工作及主要结论

首先介绍平行平面移动法中常用的一些记号。令μ是1个实数，Ω是Rn中具有C2光滑边界的1个有界区域。在x1x′坐标平面中取沿着垂直于x1方向的1个超平面记为μ｝。对于充分大的正数μ，Tμ与Ω是不相交的。随着μ的减小，Tμ开始与Ω相交，这时Tμ将从Ω上截下一个开集

记∑′μ为∑μ关于超平面Tμ的对称区域。一开始∑′μ是包含在Ω中的，直到下列情况之一发生：（A1）∑′μ与Ω内切于不在Tμ上的某点P。（A2）Tμ与Ω正交于某点Q。

当超平面Tμ到达上述2种情况中的任意1种时就将Tμ记为Tλ，并称∑λ为极大交集。显然∑′λ包含在Ω中。

下面的2个引理不给出证明，直接在证明过程中应用（参见文献［1］）。

引理1 设Ω是1个C2边界的有界区域，T是1个包含Ω上Q点处的法线的超平面。Ω＊是Ω位于T某一侧的部分。假设ω是Ω＊的闭包中的C2函数，且满足下列椭圆型不等式

其中系数都是一致有界的。假设矩阵aij是一致正定的，

这里ξ＝（ξ1，…，ξn）是任意实向量，η＝（η1，…，ηn）是T的单位法向量，d是到T的距离。

设在Ω＊中ω≥0，在Q点ω＝0，s是任意从Q点进入Ω＊的非切线方向。则除非ω≡0，否则就有，在Q点。

这里L是一致椭圆型的，系数是有界的。引理2 在上述的假设及Lu≤0，u≥0下，

（1）若x0∈Ω，u（x0）＝0，Ω在x0点满足内球条件，则有

其中向量υ＝（υ1，…，υn）是Ω上x0处的单位外法向量。

（2）在Ω中u≥0。

下面给出1个重要的命题，它描述了解在边界附近的性质。

命题3 设Ω是Rn中C2的有界区域，f是C1的。设u∈C2（Ω）是

的解。若λ是定义了极大交集的实数，则对每个x0∈或成立，即u在x0附近是x1的严格递减函数。

利用引理1，引理2和命题3，可得超定边值问题解及区域的对称性结果。

定理4 设f是定义在Rn＋1上的连续函数，满足如下条件：

（i）f关于x1对称，并且当x1＞0时关于x1不增，

（ii）fui是连续的，x∈Ω。

（3）当λ不为0时，f在Ω中是不依赖于x1的。

2 主要结论的证明

本节利用平行平面移动法给出命题3和定理4的证明。

首先给出命题3的证明。

证明 注意到在x0点υ1＞0。由假设，显然在Ω∩，因此在Ω∩｛x1＞λ｝上u1≤0。

首先，假设f（0，0）≥0，则有

由中值定理得

从而，利用上式并化简整理可得

其中bi和c是某有界函数。由引理2得

因为（1）在坐标旋转下是不变式，可以考虑坐标原点在x0，x1轴沿着Ω上x0点处的外法线方向（此时υ＝（1，0，…，0））。这样就可以将Ω的边界局部表示成

将（2）关于xi（i＝2，…，n）求导，得

将（3）关于xj（j＝2，…，n）求导，得

计算（4）在x0处的值，这时i＝0，u1＝0，得

下面给出定理4的证明。

证明 对每个实数α，λ≤α≤λ1，在∑α中定义函数v和w如下：

则v和w分别满足

现在来证明对每个实数α（λ＜α＜λ1），

由命题3知（6）式对于任意1个与λ1充分接近的α都成立。

令β≡inf｛λ≤α｜（6）成立，α＜λ1｝。以下将证明β＝λ。假设β＞λ，对任意点，有。这样就得到。因此在∑β中w不恒为0。在∑β中w≥0，在Ω≡∑β上应用引理2，得和

由引理2可以看到下列情形会有一种成立：

（B1）在∑λ的所有内点上w＞0；

（B2）在∑λ上w≡0。

现在假设在∑λ上w不恒等于0，即（B1）成立。在情况（A1）下，由引理2得，其中Pλ是P关于Tλ的对称点。但这样就产生了矛盾，因为。在情况（A2）下，因为不能直接对函数w应用引理2，故作变换，其中k是1个待定的常数。

则

至此本文证明了（B1）是不可能的。显然（B2）意味着u、Ω关于T都是对称的。同时对任意的α≥λ，在∑α上w＞0，u关于x1对称地递减。这就证明了结论（1）。

［1］ Serrin J.A symmetry problem in potential theory［J］.Arch Ration Mech Anal，1971，43（4）：304－318.

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［3］ Gidas B，Ni W M，Nirenberg L.Symmetry and related properties via the maximum principle［J］.Comm Math Phys，1979，68（3）：209－243.

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［6］ Fragala I，Gazzaola I F，Kawohl B.Overdetemined boundary value problems with possibly degenerate ellipticity：ageometry approach［J］.Math Zeitschr，2006，254（1）：117－132.

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［8］ Ragous L.Symmetry theorems via the continuous steiner symmetrization［J］.Electron J Differ Equations，2000，44：1－11.

The Symmetry of Solution for a Class of Overdetermined Boundary Value Problem Containing Gradient

FANG Zhong－Bo，WANG An－Na，ZHANG Lin－Jie
（School of Mathematical Science，Ocean University of China，Qingdao 266100，China）

The classical moving plane method is med to investigate the symmetry of solutions for a class of Laplacian overdetermined equation which contains the gradient.The sufficient condition for the symmetry of solutions and domain is obtained and it's found out that the symmetry of the solution and domain depends on the continuity symmetry of the non－homogeneous term on the spatial variable and the continuity on the partial derivative to the gradient.

Laplace equation；overdetermined；symmetry

O175

A

1672－5174（2012）1－2－169－04

国家留学回国人员科研启动基金项目（910937020）；中央高校基本科研业务费专项基金项目（201013043）资助

2010－12－10；

2011－04－27

方钟波（1968－），男，副教授。E－mail：fangzb7777＠hotmail.com

AMS Subject classifications：35N25；35J15

责任编辑 朱宝象