LM-积分收敛定理的推广

李 伟

(集美大学 理学院,福建 厦门 361021)

1902年在测度理论基础上建立了Lebesgue积分(简称L-积分)[1].但它的建立是非黎曼型的，而且并非Riemann积分的全部推广.1973年E.J.Mcshane建立一种积分，人们称之为Mcshane积分(简称M-积分)[2]，它是黎曼型的，无需用到测度理论，并证明了它等价于经典的Lebesgue积分.为了便于阐述，本文不妨用LM-积分来统称它们.本文首先给出有关联性的若干定义，并分析了相关的意义，然后给出文献[3]定理1的简化证明，并证明了LM-收敛定理，它推广了Lebesgue收敛定理.

1 预备知识

可见R-积分定义中要求两个“无关性”，即“与分割T无关”、“与ξi∈[xi-1,xi]的选取无关”，才能保证积分的“确定性”和“唯一性”.如果在保证黎曼和的极限惟一性的条件下，适当减弱两个“无关性”来定义积分，则有可能扩大可积范围.事实证明这个目的可通过多种途径达到.例如，下面介绍的R.Henstock 所用的方法[4].为了保证黎曼和的极限的惟一性，粗略看来，就是希望对ξi∈[xi-1,xi]，|∑f(ξi)(xi-xi-1)-A|要任意小.这个要求对某些[xi-1,xi]中的x，只要函数值变化不大，上述绝对值相应变化不大；但若在[xi-1,xi]中函数值变化较大时，相应会使上述绝对值有较大的变动，甚至难于保持任意小.因此一律要求[xi-1,xi]的长度小于固定的常数δ，会使可积函数范围变窄.为了避免这种情况，一种想法是使ξi与[xi-1,xi]相适应，因地制宜选择δ，即使δ与ξi有关，亦即视δ为ξi的函数，由此达到要求的目的.

定义2 设δ(x)为[a,b]上的正值函数，所谓[a,b]上的分法D是δ-精细的，是指有序分点：a=x0

可见[a,b]上的δ-精细分法D是区间[xi-1,xi]与ξi组成的偶对{([xi-1,xi],ξi),i=1,2,…,n}，常简记分法D={([U,V],ξ)}，满足:ξ∈[u,v]⊂(ξ-δ(ξ),ξ+δ(ξ)).

其中[u,v]为分法D的典型区间.如果ξ⊂[a,b]，而不要求ξ⊂[u,v]，即满足[u,v]⊂(ξ-δ(ξ),ξ+δ(ξ))，则称这种分法为δ-精细M-分法[2].

但是这种分法先是在[a,b]上取ξ，然后考虑{(ξ-δ(ξ),ξ+δ(ξ))}对[a,b]的开覆盖.由Heine-Borel有限覆盖定理[1]，可取出有限个(ξ-δ(ξ),ξ+δ(ξ))覆盖[a,b]，再在每相邻的两个开覆盖的公共部分中取一点作分点，a为起点，b为终点，再从a到b这些有限个点依次排列为：a=x0

定义3[5]一个数A叫做函数f(x)从a到b(或[a,b]上)的R-积分，如果∀ε>0，∃δ(x)=δ>0，使得对[a,b]上任意的δ-精细分法D={([u,v],ξ)}，有：|(D)∑f(ξ)(v-u)-A|<ε.

Mcshane在1973年已证明了M-积分等价于L-积分[2]，并且M-积分包含在KH-积分里面[6].

定义5 设f(x)定义于[a,b]，∀t⊂[a,b]，若∀ε>0，∃δ(x)>0，∀[r,s]⊂(t-δ(t),t+δ(t))，[r,s]⊂[a,b].对[r,s]上任何δ-精细M-分法D={([u,v],ξ)}，有:|(D)∑f(ξ)(v-u)|<ε.

则称f(x)在[a,b]上具局部小黎曼和性质，简记为LSRS.又设{fn}为[a,b]上的函数列，若上述等式对所有n成立，即对任意的自然数n，都有:|(D)∑fn(ξ)(v-u)|<ε,则称fn在[a,b]上具一致局部小黎曼和性质，简记为ULSRS[7].若上述对[r,s]所作的分法为δ-精细分法，其他的不变，则称f(x)在[a,b]上具LSRS*性质和fn(x)在[a,b]上具ULSRS*性质[6].

为了给出积分的收敛定理，首先看一个例子.

则每个fn(x)在[0,1]上为L-可积，但其极限函数:

不为L-可积，这说明L-积分对极限运算并不封闭.由文献[1]知，在一定条件下，L-积分有较好的收敛定理，即L-控制收敛定理和Vitali收敛定理，但前者即为后者的推论[1].

2 定理及其推广

定理1 设:1)fn(x)→f(x)于[a,b]；2)fn(x)在[a,b]上为等度KH-可积,

则：fn(x)在[a,b]上具ULSRS*性质.

定理1的证明见文献[7] .下面给出文献[3]中定理1的简化证明.

定理2 设:1)fn(x)→f(x)a.e.于[a,b]；2)每个fn在[a,b]上L-可积；

(注：定理2的条件为L-积分收敛定理条件[1])

证明记:X={x|fn(x)→f(x)}，则|X|=0(|X|表X的外测度，下同).

令：

(D2)∑|f*(ξ)(v-u)-F(u,v)|+(D2)∑|F(v-u)-Fn(u,v)|<

2ε+ε(b-a)+2ε+ε=ε(b-a+5).

由于M-积分与L-积分等价，那么LM-积分的收敛定理可作如下推广.

定理3 设f(x)为定义于[a,b]上的实函数，满足：

1)fn(x)→f(x)a.e.于[a,b]；2)fn(x)在[a,b]上等度M-可积；

3)fn(x)在[a,b]上具ULSRS性质，则f(x)在[a,b]上为M-可积，且：

证明记:X={x|fn(x)→f(x),x∈[a,b]}，则|X|=0.

令：

由条件2)和3)可确定共同的δ(x)>0，对[a,b]上任作δ-精细M-分法D和D′，对每个n，有：

2ε+8ε+8ε=18ε.

从而由文献[6]的等度收敛定理，得知结论成立.证毕.

[1] 江泽坚，吴智泉.实变函数论[M].北京：人民教育出版社，1961：59-75.

[2] Mcshane E J.A unified theory of integration[J].Amer Math Monthly,1973，8：36-39.

[3] 李伟.Mcshane积分的LSRS收敛定理的新扩展[J].集美大学学报：自然科学版，2009，14(2)：195-197.

[4] Henstock R.Lectures on the theory integration[M].World Scientific，1988：15-16.

[5] 丁传松，李秉彝.广义黎曼积分[M].北京：科学出版社，1989：5-8.

[6] Lee P. Y.Lanzhou Lectures on Henstock Integration[M].World Scientific，1989：15-28.

[7] Xu Dong Fu.The LSRS Porperty and the Convergence Theorem of Henstock-Kurzweil Integral[J].数学物理学报:英文版：1997,17(4)：443-448.