顺序统计量的分布及其在优效性中的应用

沈伶伶

(鞍山技师学院,辽宁 鞍山 114000)

顺序统计量，特别是最大顺序统计和最小顺序统计量，是数理统计中重要统计量之一；在随机过程和应用统计中有十分广泛的应用[1-5].文献[6-7]研究了顺序统计量的分布和最大顺序统计量和最小顺序统计量的联合分布,本文主要研究最大顺序统计量和最小顺序统计量的分布，以及在优效性中的应用.

1 顺序统计量的定义

定义1 (顺序统计量)假设ξ1,ξ2,…,ξn为总体ξ的样本，由样本建立n个函数：

2 顺序统计量的分布

定理1 假设ξ1,ξ2,…,ξn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为Fξi(xi)(i=1,2,…,n),则最大顺序统计量的分布函数为:

Fmax(z)=Fξ1(x1)Fξ2(x2)…Fξn(xn),

最小顺序统计量的分布函数为:

Fmin(z)=1-[1-Fξ1(z)][1-Fξ2(z)]…[1-Fξn(z)].

如果ξ1,ξ2,…,ξn相互独立且具有相同的分布函数F(z),则:

Fmax(z)=[F(z)]n,Fmin(z)=1-[1-F(z)]n.

特别如果ξ1,ξ2,…,ξn相互独立同分布且为连续型随机变量,ξi的密度函数为p(x),则:

(1)

(2)

Fξ1(z)Fξ2(z)…Fξn(z),

1-P{ξ1>z}P{ξ2>z}…P{ξn>z}=

1-[1-P{ξ1≤z}][1-P{ξ2≤z}]…[1-P{ξn≤z}]=

1-[1-Fξ1(z)][1-Fξ2(z)]…[1-Fξn(z)].

3 顺序统计量在优效性中的应用

3.1 无偏性

3.2 最小方差无偏估计

[1] 邓集贤，杨维权.概率论及数理统计(下册)[M].北京:高等教育出版社，2009:138-145.

[2] 盛骤，谢式千.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社，2001:109-128.

[3] 李贤平.基础概率论[M].北京:高等教育出版社,2010.

[4] 陈希孺.数理统计[M].北京:科学出版社,1981.

[5] 孙荣桓.应用数理统计[M].北京:科学出版社,1998.

[6] 何朝兵,田彦伟.顺序统计量的分布[J].成都大学学报:自然科学版,2008,27(2):116-119.

[7] 陈光曙.最大最小次序统计量的联合分布[J].大学数学,2006,22(5):530-533.