逻辑系统L*中公式的随机真度

2012-01-05左卫兵

郑州大学学报(理学版) 2012年1期

左卫兵

(华北水利水电学院数学与信息科学学院河南郑州 450046)

0 引言

计量逻辑学[1-6]基于均匀概率的思想提出了命题逻辑系统中公式的真度和逻辑度量空间的理论,它将数理逻辑的形式化、符号化与计算数学的数值计算、近似求解联系起来,让形式化的数理逻辑具有了灵活性并扩大其应用范围,但也存在缺少随机性的不足.在计量逻辑学中,每个原子公式被赋予了相同的真度,使得两个形式完全相同的公式的真度一定相等,这不符合现实世界中各种简单命题成立的概率不尽相同的事实,因为各简单命题是否为真以及为真的程度是不确定的、随机的.为此，文献[7]利用赋值集的随机化方法,在经典命题逻辑系统中提出了公式的随机真度概念和随机逻辑度量空间的理论,实现了概率逻辑学与计量逻辑学的融合.文献[8-10]又在三值R0、三值Godel和三值Lukasiewicz命题逻辑系统中进行了类似的随机化研究,但文献[7-10]进行随机化研究的逻辑系统均是离散值逻辑系统,本文则利用文献[11]中提出的赋值概率密度结合赋值集的随机化方法，在模糊命题逻辑L*中提出了公式的随机真度、公式间的随机相似度和伪距离的概念,建立了3种随机逻辑度量空间,证明了随机逻辑度量空间中逻辑运算的连续性,为在模糊命题逻辑中进行随机真度的近似推理拓宽了思路.

1 预备知识

设S={q1,q2,…}是可数集,是一元运算,∨与→是二元运算,由S生成的 {,∨,→}型自由代数记作F(S).F(S)中的元素称为命题或公式,S中的元素称为原子命题或原子公式.

定义1[4]R0型命题逻辑系统记为L*,其公理如下：

(L*1)A→(B→A); (L*2)(A→B)→(B→A);

(L*3)(A→(B→C))→(B→(A→C)); (L*4)(B→C)→((A→B)→(A→C));

(L*5)A→A; (L*6)A→A∨B;

(L*7)A∨B→B∨A; (L*8)(A→C)∧(B→C)→(A∨B→C);

(L*9)(A∧B→C)→(A→C)∨(B→C); (L*10)(A→B)∨((A→B)→A∨B).

L*中的推理规则为MP，以上A∧B是(A∨B)的缩写.

同时,在系统L*中,用A⨁B表示A→B,用A⊗B表示(A→B).(→,⊗)为伴随对,满足a⊗b≤c当且仅当a≤b→c,a,b,c∈[0,1],此处[0,1]为R0单位区间.

引理1[4]在系统L*中,设a,b,c,d∈[0,1],则

(1)(a∧c)⊗(b∧d)≤(a⊗b)∧(c⊗d),

(2)(a→b)⊗(b→c)≤(a→c).

定义2设R={p1(x),p2(x),…}为[0,1]上的函数列,且pi(x)(i=1,2,…)为赋值密度函数[11],称R为赋值密度函数序列.

本文讨论系统L*中相关问题,所引用的概念、符号及性质若未加说明的均参见文献[4-5].

2 公式的随机真度

注易见公式A的随机真度是文献[11]中概率真度的推广.

由定义4及系统L*的基本性质易得如下结论：0≤τ(A)≤1；A为几乎重言式当且仅当τ(A)=1；A为几乎矛盾式当且仅当τ(A)=0；τ(A)=1-τ(A),τ(A⊗A)=0,τ(A⊗A)=1,τ(A(∨B)≥τ(A)∨τ(B),τ(A∧B)≤τ(A)∧τ(B).

定理1设A,B∈F(S),R为赋值密度函数序列,则

(1)若├A→B,则τ(A)≤τ(B)；(2)若A～B,则τ(A)=τ(B)；

(3)τ(A∨B)=τ(A)+τ(B)-τ(A∧B)； (4)τ(A∨B)≥τ(A)+τ(B)-1；

(5)τ(A→B)≤τ(A∧B)-τ(A)+1； (6)τ(A→B)≤τ(A)→τ(B).

证明(2)与(4)分别是(1)与(3)的直接结论.

命题3设A,B,C∈F(S),R为赋值密度函数序列,则

(1)τ(A→(A⨁B))=1,τ((A⨁B)→A)=1,τ(A→B→(A⊗B))=1.

(2)τ((A⊗B)→C)=τ(A→(B→C)).

(3)τ(A⊗(B∨C))=τ((A⊗B)∨(A⊗C)),τ(A⊗(B∧C))=τ((A⊗B)∧(A⊗C)).

(4)τ(A⨁(B∨C))=τ((A⨁B)∨(A⨁C)),τ(A⨁(B∧C))=τ((A⨁B)∧(A⨁C)).

(5)τ(A⊗B)≤τ(A∧B)≤τ(A∨B)≤(A⨁B).

定理2设A,B,C∈F(S),R为赋值密度函数序列,α,β∈[0,1],则

(1)(MP规则)若τ(A)≥α,τ(A→B)≥β,则τ(B)≥α+β-1.

(2)(HS规则)若τ(A→B)≥α,τ(B→C)≥β,则τ(A→C)≥α+β-1.

(3)(交推理规则)若τ(A→B)≥α,τ(B→C)≥β,则τ(A→(B∧C))≥α+β-1.

证明(1)由定理1(5)知τ(A→B)≤τ(A∧B)-τ(A)+1≤τ(B)-τ(A)+1,即τ(B)≥τ(A)+τ(A→B)-1.

(2)因为├(B→C)→((A→B)→(A→C)),则τ((B→C)→((A→B)→(A→C)))=1.由τ(B→C)≥β,利用(1)得τ((A→B)→(A→C))≥1+β-1=β；再利用(1)及τ(A→B)≥α可得结论.

(3)由A→(B∧C)≈(A→B)∧(A→C)及定理1(3)可得τ(A→B∧C)=τ((A→B)∧(A→C))≥τ(A→B)+τ(A→C)-1≥α+β-1.

命题4设A,B,C∈F(S),R为赋值密度函数序列,则

(1)τ(A∨B→B∨C)≥τ(A→B)∨τ(A→C).

(2)τ(A∧B→B∧C)≥τ(A→B)∨τ(B→C).

(3)τ((B→C)→(A→C))≥τ(A→B)∨τ(A→C).

3 公式间的随机相似度及伪距离

利用公式的随机真度可以在逻辑系统L*中给出公式间的随机相似度和伪距离.

定义5设A,B∈F(S),R为赋值密度函数序列,则称

(1)ξ1(A,B)=τ((A→B)∧(B→A))为公式A与B之间的第一种随机相似度；

(2)ξ2(A,B)=τ(A→B)∧τ(B→A)为公式A与B之间的第二种随机相似度；

(3)ξ3(A,B)=(τ(A)→τ(B))∧(τ(B)→τ(A))为公式A与B之间的第三种随机相似度.

定理3设A,B,C∈F(S),R为赋值密度函数序列,则

(1)ξk(A,A)=1,ξk(A,B)=ξk(B,A),k=1,2,3.

(2)ξk(A,C)≥ξk(A,B)+ξk(B,C)-1,k=1,2,3.

(3)ξ1(A,B)≤ξ2(A,B)≤ξ3(A,B).

证明(1)显然.

(2)(i)注意到ξ1(A，B)=τ((A→B)∧(B→A))=τ(A→B)+τ(B→A)-τ((A→B)∨(B→A))=τ(A→B)+τ(B→A)-1.利用定理2(2)得

ξ1(A,C)=τ(A→B)+τ(B→A)-1
≥(τ(A→B)+τ(B→C)-1)+(τ(C→B)+τ(B→A)-1)-1
=(τ(A→B)+τ(B→A)-1)+(τ(B→C)+τ(C→B)-1)-1
=ξ1(A,B)+ξ1(B,C)-1.

(ii)令a⊙b=(a+b-1)∨0,a,b∈[0,1],由剩余格[4]的性质可知(a∧b)⊙(b∧d)≤(a⊙b)∧(c⊙d),a,b,c,d∈[0,1],则

ξ2(A,C)=τ(A→C)∧τ(C→A)
≥((τ(A→B)+τ(B→C)-1)∨0)∧((τ(C→B)+τ(B→A)-1)∨0)
=(τ(A→B)⊙τ(B→C))∧(τ(B→A)⊙τ(C→B))
≥(τ(A→B)∧τ(B→A))⊙(τ(B→C)∧τ(C→B))
≥ξ2(A,B)+ξ2(B,C)-1.

(iii)由引理1(2)知τ(A)→τ(C)≥(τ(A)→τ(B))⊗(τ(B)→τ(C))及τ(C)→τ(A)≥(τ(C)→τ(B))⊗(τ(B)→τ(A)),利用算子⊗与⊙的大小关系[5],即a⊗b≥a⊙b,a,b∈[0,1],可得

ξ3(A,B)=(τ(A)→τ(B))∧(τ(B)→τ(A))

≥((τ(A)→τ(B))⊗(τ(B)→τ(C)))∧((τ(C)→τ(B))⊗(τ(B)→τ(A)))

=((τ(A)→τ(B))∧(τ(B)→τ(A)))⊗((τ(B)→τ(C))∧(τ(C)→τ(B)))

=ξ3(A,B)⊗ξ3(B,C)

≥ξ3(A,B)⊙ξ3(B,C)

≥ξ3(A,B)+ξ3(B,C)-1.

(3)因为(a→b)∧(b→a)≤a→b,a,b∈[0,1],所以ξ1(A,B)≤τ(A→B)且ξ1(A,B)≤τ(B→A),从而ξ1(A,B)≤min{τ(A→B),τ(B→A)}=τ(A→B)∧τ(B→A)=ξ2(A,B).又由定理1(6)知ξ2(A,B)≤(τ(A)→τ(B))∧(τ(B)→τ(A))=ξ3(A,B).

定义6设A,B∈F(S),R为赋值密度函数序列,规定：ρk(A,B)=1-ξk(A,B),k=1,2,3,则ρk是F(S)上的伪距离,称(F(S),ρk)(k=1,2,3)为随机逻辑度量空间.

命题5设A,B,C∈F(S),R为赋值密度函数序列,则

(1)ρk(A,A)=0,0≤ρk(A,B)≤1,ρk(A,B)=ρk(B,A),k=1,2,3.

(2)ρk(A,C)≤ρk(A,B)+ρk(B,C),k=1,2,3.

(3)ρ1(A,B)≥ρ2(A,B)≥ρ3(A,B).

(4)ρ1(A,B)=2-τ(A→B)-τ(B→A).

(6)ρ3(A,B)=2-τ(A)→τ(B)-τ(B)→τ(A)=|τ(A)→τ(B)-τ(B)→τ(A)|.

定理4设A,B∈F(S),R为赋值密度函数序列,则ρk(A,B)=ρk(A,B),k=1,2,3.

证明(i)ρ1(A,B)=2-τ(A→B)-τ(B→A)=2-τ(B→A)-τ(A→B)=ρ1(A,B).

(ii)由命题5(5)得ρ2(A,B)A,

(iii)ρ3(A,B)=|τ(A)→τ(B)-τ(B)→τ(A)|=|τ(A)→τ(B)-τ(B)→τ(A)|=ρ3(A,B).

引理2设A,B,C∈F(S),R为赋值密度函数序列,则ρk(A∨C,B∨C)≤ρk(A,B),k=1,2.

证明(i)由命题5(4)得

ρ1(A∨C,B∨C)=2-τ(A∨C→B∨C)-τ(B∨C→A∨C)
=2-τ((A→B∨C)∧(C→B∨C))-τ((B→A∨C)∧(C→A∨C))
=2-τ(A→B∨C)-τ(B→A∨C)
=2-τ((A→B)∨(A→C))-τ((B→A)∧(B→C))
≤2-τ(A→B)-τ(B→A)=ρ1(A,B).

(ii)类似于(i)的推导步骤,

ρ2(A∨C,B∨C)=1-τ(A∨C→B∨C)∧τ(B∨C→A∨C)
=1-τ((A→B)∨(A→C))∧τ((B→A)∨(B→C))
≤1-τ(A→B)∧τ(B→A)=ρ2(A,B).

引理3设A,B,C∈F(S),R为赋值密度函数序列,则ρk(A→C,B→C)≤ρk(A,B),k=1,2.

证明仅证明ρ1的情形,ρ2的结论类似可得.

ρ1(A→C,B→C)=2-τ((A→C)→(B→C))-τ((B→C)→(A→C))
=2-τ(B→((A→C)→C))-τ(A→((B→C)→C))
≤2-τ(B→(A∨C))-τ(A→(B∨C))
≤2-τ(B→A)-τ(A→B)=ρ1(A,B).

引理4设A,B,C∈F(S),R为赋值密度函数序列,则ρk(C→A,C→B)≤ρk(A,B),k=1,2.

证明由引理3及定理4得ρk(C→A,C→B)=ρk(A→C,B→C)≤ρk(A,B)=ρk(A,B).

定理5设A,B,C,D∈F(S),R为赋值密度函数序列,则

(1)ρk(A∨C,B∨D)≤ρk(A,B)+ρk(C,D),k=1,2.

(2)ρk(A→C,B→D)≤ρk(A,B)+ρk(C,D),k=1,2.