基于动量衰减哈密顿算法的波束形成技术研究

张爱丽， 李志勇， 张志军

(河南师范大学 计算机与信息技术学院 河南 新乡 453007)

0 引言

智能天线利用现代数字信号处理技术动态地形成空间定向波束,使天线阵列方向图主瓣对准有用信号到达方向,旁瓣或零陷对准干扰信号到达方向,从而达到充分利用移动用户信号并抵消或最大程度地抑制干扰信号的目的.采用智能天线技术,不仅通过空分多址(spatial division multip le access,SDMA)提高系统容量,而且能够降低多径传输带来的影响.因此,智能天线在移动通信系统中的应用技术已日益受到国内外研究人员的重视.在对智能天线的各种研究中，天线设计和天线阵列信号处理的非线性优化问题始终令人关注.电控寄生(ESPAR)天线是智能天线的一种，通过电抗加载来控制方向图主瓣指向，又称为电控无源阵列天线.将哈密顿算法应用到ESPAR天线的波束形成技术中，即将描述粒子运动的哈密顿方程应用于解决最优化问题.优化的目的是为了寻找最佳参数，此时代价函数的值最小[1].

1 关于哈密顿算法

在一个经典的由M个粒子构成的系统中，第i个粒子的质量为mi，瞬时位置坐标为xi，速度为vi,i=1,2,…,M.为简单起见，仅考虑一维的欧式空间，假定每个粒子的质量都相同，即mi=m，引入一个线性动量pi=mvi，这样xi和pi均为标量，系统的哈密顿方程定义为势能U与动能K之和[2],

H(x1,x2,…,xM,p1,p2,…,pM)=U(x1,x2,…,xM)+K(p1,p2,…,pM),

(1)

则，动力学系统可描述为

(2)

式(2)就是哈密顿方程，在动力学中起非常重要的作用,可以看出

这表明哈密顿量是一个常量E，称为总能量.很显然，哈密顿系统是一个能量守恒系统.

下面介绍哈密顿动力学的计算方法.因为一个函数的微分可以近似等于函数的变化量，则

xi(t+Δt)≅xi(t)+Δt·dxi(t)/dt,pi(t+Δt)≅pi(t)+Δt·dpi(t)/dt,

将(2)式代入，可得

(3)

(4)

(5)

(6)

优化的目的是寻找最优参数使得代价函数的值最小.在优化过程中M个变量可以看作是哈密顿动力学中的M个位置x1,x2,…,xM.用于优化的动能K通常表示为

(7)

此外，位置变量x1,x2,…,xM与{E-U(x1,x2,…,xM)}(M/2γ)-1成正比，其中，γ是一个正的常数因子，E是总能量.(7)式表明，当0<γ≤1时，找到代价函数较小值的可能性大[3].

在寻找最优值的过程中，通过逐渐增加动量衰减量，可将哈密顿算法进行扩展，即在(6)式中插入一个动量衰减量

(8)

其中，A0是控制动量衰减量的一个参数，n是迭代次数.因此，动量p随着迭代次数的增加成比例的衰减.通过对动量的衰减，可以限制在一个较小的范围内寻找到局部最小值.

2 将哈密顿算法应用于自适应波束形成技术

2.1 ESPAR天线及其信号模型

ESPAR天线是智能天线中的一种，通过电抗加载来控制方向图主瓣指向，又称为电控无源阵列天线.该天线利用各阵元之间的耦合实现空间滤波，简化了RF电路.ESPAR天线为一个7单元λ/4单极阵子的六边形阵，其中只有中心阵元是有源阵子，其他6个阵元均为无源阵子，分别下接一个可变电阻xm，对称分布在以中心阵元为圆心、半径为λ/4的圆周上.加载在每个无源阵子上的电抗值与各自的长度相对应，无源振子成为反射器还是引向器,取决于电抗值的正负.如果加载负的电抗值，阵元表现为较短的单极天线(引向器)，反之，阵元表现为较长的单极天线(反射器)[4].智能天线的作用原理就是通过一种自适应算法改变每个阵元下可变电阻的阻值，从而改变天线的方向图，形成对准目标的主波束和对准干扰的零点.

给定RF电流向量w=Vs(Z+X-1)μ0，其中，Vs是一常量，μ0=(1,0,…,0)T.对角矩阵X=diag(Z0,jx1,…,jxM)为电抗矩阵，Z=(zkl)(M+1)×(M+1)为阻抗矩阵，表示元素k和l之间的互阻抗(0≤k,l≤M).w、y(t)是电抗向量X的非线性函数[5].这就说明，ESPAR天线的自适应波束形成需要优化算法，例如哈密顿算法.

引入哈密顿算法，M维参数被视为M个瞬时位置，将天线输出信号相对于参考信号的均方误差作为代价函数.优化的目的是寻找一个最佳参数，使代价函数的值最小.将天线输出信号相对于参考信号的均方误差作为代价函数，经过多次迭代，找到代价函数的最小值.

2.2 基于哈密顿算法的自适应波束形成技术

采用哈密顿算法，把M维变量的优化问题转换成了M个质子的动力学问题，经过多次迭代，找到代价函数的最小值.波束形成自适应算法目的是得到最优的电抗向量值，此时代价函数是最小的,这里的代价函数相当于哈密顿动力学中的势能，能够避免局部最小值的出现，且容易找到代价函数的全局最小值.

哈密顿方程应用于ESPAR天线的波束形成技术中，选用代价函数

(9)

U是输出y(t)相对于参考信号r(t)的均方误差(NMSE),其中，

3 仿真及分析

图1 阵列天线方向

选用7元(M=6)ESPAR天线，信号采用BPSK调制方式，SNR=20 dB，干扰信号的功率与期望信号相同.电抗xi(i=1,2,…,6)的初值为0.动量pi(i=1,2,…,6)与给定电抗的代价函数的值成正比，数据块大小P=50.仿真中，训练序列的符号数目为P(M+1)N=50×(6+1)×5 000.

首先考虑在70 °和320 °方向有两路信号的情况，由(5)和(8)式计算，经过N=5 000次迭代之后，找到了NMSE的最小图值，即对应的电抗向量X.主波束指向期望信号70 °方向，零陷指向干扰信号320 °方向，如图1所示，得到SIR为34 dB的输出信号.结果表明：带有动量衰减的HA形成的零陷要比没有动量衰减的HA或GBA形成的零陷深.

其次，观察仿真中x1～x6的变化轨迹，如图2所示.采用带有动量衰减的HA，其初始值和最优值分别用正方形和圆形标记.由于70 °方向为期望信号的波达方向，320 °方向为干扰信号的波达方向，所以2号和3号阵元作用是引向器，应加载负的电抗值，从而形成指向期望信号方向的主波束.5号和6号阵元作用是反射器，应加载正的电抗值.在图2中，可以看出，电抗x2和x3变化轨迹分布在负的区域，而x5和x6分布在正的区域.与不带动量衰减量的HA算法相比(见图3)，带有动量衰减量的HA被限制在一个更小的范围.这就意味着，带有动量衰减的HA的搜索效率更高.

图2 迭代过程中电抗的变化轨迹(动量衰减HA)and Δ(GBA)

图3 迭代过程中电抗的变化轨迹 (不带动量衰减HA)and Δ(GBA)

图4 输出信干比高于已知信干比的概率

图4给出实际输出的信号干扰比(SIR)Z超出给定值(横坐标)z的概率Pr(Z>z).在仿真时，期望信号和干扰信号均匀地、随机地分布在0～360 °范围内，但是要有30 °的角度间隔.统计时，共用到10 000对波达方向.仿真结果表明：带有动量衰减的HA算法的SIR至少能够输出高于20 dB的已知SIR的概率为99%.与不带动量衰减的HA和GBA相比，高出6 dB的增益.

4 结论

在ESPAR天线的波束形成过程中，在哈密顿算法中引入动量衰减.随着搜索的进行，动量逐渐减弱.在整个过程的最初阶段，衰减较弱，搜索在一个较大范围内进行，而在搜索快结束时，衰减变大以保证搜索在较小范围内进行，这为寻求波束形成的最优解提供了更大的可能性[7].仿真结果表明,采用HA算法能够灵活地驾驭阵列方向图的主波束和零陷，采用带有动量衰减的HA算法，可使得搜索限制在一个高搜索概率的良好范围.与不带动量衰减的HA和GBA相比，带有动量衰减的HA算法可获得高出6 dB的增益，且能够形成更高增益的主波束，在干扰方向形成较深的零陷.

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