模型化法——数学课改新思维

　　《新课标》中指出：数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。为了培养大家的数学建模意识，提高大家数学建模能力，现就中学数学常见的几种数学模型举例如下，供大家参考。
　　一、一条直线同侧两点到直线上一点的距离之和最短问题
　　二、解直角三角形模型化法
　　例2.海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁，一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向。问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险？
　　解析：本题型是航海问题，实际上就是解直角三角问题。要解决此题，首先要根据题意，画出图形，将航海问题抽象成纯数学问题，建立起“解直角三角形的数学模型”。有无触礁问题即是P到AB的距离是否大于3海里的问题。则可过P作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，求出PC与3作比较，显然PC>3，没有触礁的可能，轮船不必改变航线。
　　三、概率中的模型化法
　　例3.小明拿着一个罐子来找小华做游戏，罐子里有四个一样大小的玻璃球，两个黑色，两个白色。小明说：“使劲摇晃罐子，使罐子中的小球位置打乱，等小球落定后，如果是黑白相间地排列，就算甲方赢，否则就算乙方赢。”他问小华要当甲方还是乙方，请你帮小华出主意，并说明理由。（解略）
　　解析：这是一个实际生活中的游戏问题，要想解决这个问题，我们首先要建立数学模型，把它转化为概率问题，然后通过列表或树状图的方法表示游戏者所有可能出现的结果，使这个问题得到顺利解决。
　　领悟整合：概率知识在实际生活中的应用很广，下面一则例题就是用概率的知识来帮助我们做出正确的决策，关键是当你看到问题时，能在头脑中建立概率模型，要有这种建模意识。
　　四、方程模型化法：
　　例4．下表是某一周甲、乙两种股票每天的收盘价：（收盘价是指股票每天交易结束时的价格）
　　某人在该周内持有若干股甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），该人账户上星期二比星期一多获利200元，星期三比星期二多获利1300元。试问该人持有甲、乙股票各多少股？
　　解析：根据表中提供的信息判断甲股票星期二比星期一每股多获利（12.5－12）元，乙股票每股多获利（13.3－13.5）元，若设该人持有甲股票x股，乙股票y股，可得该人星期二比星期一多获利［（12.5－12）x+（13.3－13.5）y］，又因为已知该人账户上星期二比星期一多获利200元，可列方程（12.5－12）x+（13.3－13.5）y＝200，同理，可列方程（12.9-12.5）x+（13.9-13.3）y=1300，组成二元一次方程组解之即可。
　　说明：运用数学知识解决社会热点问题和实际生活中的问题，是中考命题的一大热点。解题的关键是读懂图表所提供的信息，理解题意，将实际问题转化为数学问题。
　　（作者单位 山东省邹平县台子中学）
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文