一堂值得深思的数学课

　　2009年我在贵州师范大学数计学院读教育硕士期间，我的老师汪秉彝教授在课上讲了一个初中新课程教学的故事。他认识的一位中学数学教师，在讲练习题时充分调动学生的积极性、主动性、参与性，一个练习题讲了一节课，学生用了七种不同的解法，让老师大吃一惊，觉得这是不可思议的、出乎意料的，原来学生是这样得聪明。对于这个故事我是半信半疑，甚至怀疑是不是这位中学老师为了发表论文，自己杜撰的。因为在过去3年的教学中，我刚好教完一轮初中生，在我的课堂上从来没发生过这样的事情，请学生起来回答问题，不知为何没有几个愿意的，即使有几个，做题的方法也没有两样。2010年9月我回到教学岗位上，上八年级（1）班的数学课。上完第一章“勾股定理”时，我在参考书上见到了下面这道题，本来是想让学生做做就可以了，接着讲其他练习题。但这次真的出乎想象，我和那位中学教师一样惊讶！下面是这节课的教学过程。
　　我在黑板上板书题目如下：
　　观察下表：
　　请你结合该表格及相关知识，求出b，c的值。
　　6分钟过去了，“同学们，有没有人做出来了？”我问到。一位小女孩小声说到，“老师，我做出来了。”我望过去，原来是班上成绩中等的学生杨琰琪。“请你说说你的做法”，我说到。因为人太多，声音太小，我并没有听清楚。我说：“能不能在黑板上写下来？”于是，她上来写下了她的解法。
　　解法如下：
　　所以b=84，c=85。
　　同学们在下面议论着，这样行不行呢？我说这样可以的。
　　同学们，还有其他方法吗？“有”，一个响亮的声音从教室的最后面传来。原来是学习委员张爽同学。“请上来说说你的做法”，我说。该同学自信地走上讲台，在黑板上不慌不忙写道：
　　解：由表知，
　　第一行：3=2×1+1；4=2×1×（1+1）；5=2×1×（1+1）+1
　　第二行：5=2×2+1；12=2×2×（2+1）；13=2×2×（2+1）+1
　　第三行：7=2×3+1；24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1
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　　其中，画线的1、2、3代表行数，因此得第n行对应的3个数，第n行：x=2n+1；y=2n（n+1）；z=2n（n+1）+1
　　因为13=2n+1
　　所以n=6
　　b=2×6×（6+1）=84
　　c=2×6×（6+1）+1=85。
　　很好，同学们还有其他方法吗？话音刚落，从教室中间传来了一个很自信的声音，“老师我还有解法”。我放眼望去，原来是听课不太认真、爱说话的王成同学。“好，请你上来讲讲你的做法。”
　　解：由前面3行可知，每一组数都是勾股数，因此满足前面两个数的平方和等于第三个数的平方，且后面两个数相差1，所以c=b+1。由勾股定理可得：
　　c2=b2+132
　　即（b+1）2=b2+132
　　展开得：
　　b2+2b+1=b2+169
　　所以b=84
　　c=85。
　　“很棒啊！还有解法吗？同学们，有的话就大胆上来。”“有”，一个声音从第一排位置上传来。原来是学习比较认真的顾钦钧同学。“请上来和大家交流一下你的解法。”
　　解：由前面3行可知，每一组数都是勾股数，因此满足前面两个数的平方和等于第三个数的平方，且后面两个数和为169，可得：
　　b+c=169
　　即b=169-c
　　又由b2+132=c2
　　即（169-c）2+132=c2
　　展开得：
　　1692-2×169c+c2+132=c2
　　2×169c=1692+132=169×（169+1）
　　所以c=85
　　b=84。
　　我看了一下表，时间还有5分钟。我想就此题做小结。突然传来了一个声音，“老师，我还有一种解法”。我看了看，是徐通同学。还有一种，我没有听错吧，心想看你还有什么高招，“那就请徐通同学上来交流一下他的做法。”只见该生连讲带写在黑板上板书。
　　解：由表知，
　　第一行：4，5；第二行：12，13；第三行：24，25；它们都是连续整数。相差1，因此，c=b+1
　　又c+b=169
　　即b+（b+1）=169
　　可得b=84，c=85。
　　我看了一下，啊！这么简单，我简直不敢想。写玩后，徐通同学问到：同学们听懂了吗？听懂了！接着，雷鸣般的掌声响彻了教室的上空，我也情不自禁地用力拍着双手。
　　铃声响了，学生意犹未尽，一节课就这样不知不觉地过去了。我带着惊讶走出了教室，心情既高兴又沉重，高兴的是我们的学生是这样的聪明，敢想敢做，对于同一个题用了我不敢想象的多种方法做出来了。沉重的是，我过去的教学方法、方式是不是有什么问题，过去为什么不这样放开让学生去思考、去做呢？如果我这样充分调动学生的自主性、积极性、参与性，我过去的教学效果是不是会更好？学生是不是能取得更好的成绩？……上完这节课后，我一夜不能入眠。反思过去，思考未来，感到当一位合格的教师还有许多东西要学，任重道远。
　　（作者单位 黄鹏：贵州省赫章县综合职高 林筑英：贵州师范大学）
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文