试析向量数量积的多角度应用

　　向量进入中学是数学教育改革的一个重要特征。由于向量具有几何形式与代数形式的双重性，使之成为中学数学知识的一个交汇点。利用向量的数量级可解决有关长度、角度的计算及有关平行、垂直等位置关系。因此，向量的数量积在数学的各个分支中有着广泛的应用，它是解决数学问题的重要方法之一，它的应用，往往可简化解题过程和解题难度。下面略举数例说明。
　　一、向量数量积在平面几何中的应用
　　向量数量积可处理平面几何中有关长度、角度、垂直等问题，这就为解决平面几何问题另辟了蹊径，从而简化了解题过程，降低了论证推理的难度。
　　例1证明：直径所对圆周角为直角。
　　已知：AC为圆O的一条直径，∠ABC为圆周角，求证：∠ABC=90°。
　　二、向量数量积在解析几何中的应用
　　在空间解析几何教学中，我们主要研究了空间点、线、面的关系，点线、点面的距离也是一个重要知识点。解决距离的运算运用传统方法往往比较烦琐，而且容易发生运算错误，而向量的应用则大大简化了运算，显示了它的优越性。
　　例3 一个圆的直径端点为A(x1，y1)，B(x2，y2) ，证明圆方程：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。
　　三、向量数量积在三角中的应用
　　一些三角公式，如两角差的余弦公式、正弦定理、余弦定理等，用传统的代数法比较麻烦且不易理解，而向量数量积的引用和证明会使问题简单明了，收到事半功倍的效果。
　　例4证明正弦定理。
　　（注：若△ABC为钝角三角形同样成立，读者可不妨一试）
　　例5证明公式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。
　　证明：在单位圆中取α的终边OA，β的终边OB
　　∴ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
　　四、向量数量积在立体几何中的应用
　　利用向量作为解决立体几何问题的工具，将空间结构具体化、代数化，有利于克服学生空间想象力的障碍，而且使一些难以入手的问题简单化，减少了添辅助线的困难，特别是在空间垂直的应用上，向量更突出了它的优越性，使问题变得既直观又容易接受。
　　总之，向量作为中学数学常用工具之一，随着数学领域的不断深入，向量在解题上的快捷、简化功能越来越明显，越来越得到推广。以上仅举了向量的几个方面的应用，我们在平时的教育教学中如果能积极引导，鼓励学生善于思考，提高学生的观察发现能力，巧妙地构造向量解决实际问题，那么我们还将会发现更多更广的向量的妙用。
　　（江苏省宜兴中等专业学校）