极限与连续“ε－δ”定义方式的研究

李克毅

(中国矿业大学理学院，江苏徐州 221008)

极限与连续“ε－δ”定义方式的研究

李克毅

(中国矿业大学理学院，江苏徐州 221008)

通过查阅国内部分数学分析教材和部分国外教材，指出某些教材中极限和连续定义存在的缺陷并加以比较和分析，对δ的取值范围进行了重新界定，给出改进的极限和连续的定义.

一元函数;极限;连续;定义;区间

0 引言

极限与连续的定义已经基本完善，但国内现行的大部分教材和国外教材对定义的描述不尽相同.对初学者而言，极限与连续的概念是一个难跨的门槛，基础理论方面的研究学者都力求找到一种更有利于初学者掌握的定义方式，笔者通过对国内现行教材和国外教材的研究和教学实践，发现问题的关键是如何用更准确、更方便的方式描述δ量，使初学者入门时准确理解其在定义中的作用，从而在运算与证明过程中不会受到束缚.通过对δ的取值范围进行更为明确的界定，完善“ε－δ”语言，从而给出改进的极限与连续定义.

1 问题的提出

文献［1］对在点x0处的极限给出如下定义.

在这个定义中，要求正数δ＜δ'，也就是说空心邻域0＜|x－x0|＜δ必在函数f(x)的定义域中.对于单侧极限的情况，与在点x0处的极限定义类似，仍然要求空心右邻域U0+(x0;δ')(左邻域U0－(x0;δ'))必须在函数f(x)的定义域中.文献［1］接着给出下例.

例1求解函数在定义区间端点1处的单侧极限.

在例1的解题过程中，ε是任给的正数，如果严格按照定义，我们并不能准确理解并保证空心左邻域U0(1;δ)一定在定义域|x|＜1中.按照文献［1］，f(x)在点x处连续定义的“ε－δ”语言描述应当仍要求正0数ε＜δ'，即U(x0;δ)必须处于f(x)的定义域中.

按照连续和单侧连续“ε－δ”的定义，f(x)在区间上连续的“ε－δ”定义应当如下.

定义2设f(x)在区间I上有定义.如果任给ε＞0，对每个x0∈I，都存在δ(ε，x0)＞0.当x0是I内部的点时，有(x0－δ，x0+δ)⊂I;当x∈(x0－δ，x0+δ)时，有|f(x)－f(x0)|＜ε;当x0为I的左(右)端点时，有［x0，x0+δ)⊂I((x0－δ，x0］⊂I);当x∈［x0，x0+δ)(x∈(x0－δ，x0］)时，有|f(x)－f(x0)|＜ε，则称f(x)在区间I上连续.

这个描述有些繁琐，但按文献［1］的要求又是准确的.于是当x0很靠近I的端点时，相应地δ→0.这时想找到一个对于区间I中所有的x都适用的δ是几乎办不到的.

2 其他文献的有关叙述

文献［2］对在点x0处的极限的定义如下.

在定义3中，我们发现当找到δ＞0时，只要x满足0＜|x－x0|＜δ，就可以使|f(x)－A|＜ε成立.当然要满足0＜|x－x0|＜δ必须在函数f(x)的定义域当中，在解题过程中依然要验证U0(x0;δ)⊂Df.

文献［3］对函数f(x)在一点x0处的函数极限的定义同样也应注意这一点.

例如，按照文献［4］就应当有连续性的“ε－δ”语言:对于不论怎样的数ε＞0，必能求出数δ＞0，使由|x－x0|＜δ可以引出|f(x)－f(x0)|＜ε.

定义4［5］设f是定义域为实数集E的实值函数，x∈E.若任给ε＞0，存在δ＞0，使对满足|x－y|＜δ的所有y∈E有|f(x)－f(y)|＜ε.(换句话说，若对任意ε＞0，存在x的邻域V(x)使对任意y∈E∩V(x)有f(x)－ε＜f(y)＜f(x)+ε，则称f在x处连续，

这里可以很明显地看出V(x)并不要求含于f(x)的定义域E中，按照这个定义，例1中产生的困惑便一扫而空.

3 极限和连续“ε－δ”定义叙述方式的建议

可以很清楚地看到，一元函数极限与连续定义的表述是很重要的，如果对这些定义表述不研究透彻，就无法进行进一步的研究.为了使初学者在做题时不受到束缚，在理解问题时思维准确而连贯，尤其在一元函数极限与连续的问题上，要找到使初学者豁然开朗的定义，使其对于连续向一致连续的过渡和重要理论问题的证明都有很清楚的理解.

下面先介绍文献［4］关于一元函数极限的定义.

定义5设在区域X内给定函数f(x)，且a是X的聚点.函数x接近a时的性态是值得注意的.若对于任一数ε＞0能求出数δ＞0，只需|x－a|＜δ，能使|f(x)－A|＜ε(式中的x取自X内且异于a)，则称当x趋向于a时(或在a点处)函数f(x)以数A为极限.

再给出文献［5］对x趋于a时对极限的描述.

更一般的，若f是定义在R'的子集E上的实值函数，a是E的极限点，称x趋于a时f(x)趋于L，若存在L∈R'，具有下列性质:对任意ε＞0，存在δ＞0，使对满足0＜|x－a|＜δ的所有x∈E有|f(x)－L|＜ε.L叫做x趋于a时f(x)的极限.

可以发现，这两个定义中的δ不再是文献［1］中的δ，因为不必再要求这样的δ＞0必须使U0(x0;δ)在f(x)的定义域中，这个理论意义是十分重要的.因为若假设f(x)的定义域为D，只需找到这样的一个δ，只需满足U0(x0;δ)∩D，就有|f(x)－A|＜ε.

下面给出在点x0处连续定义的“ε－δ”语言.

定义7设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果对于任给的ε＞0，存在δ(x0，ε)＞0，对于定义域中的每个x，只要|x－x0|＜δ，就有|f(x)－f(x0)|＜ε，则称函数f(x)在点x0处连续.

这样，在点x0处连续的定义就易于理解了，不用再为邻域U(x0;δ)是否在定义域中而困惑.

下面再给出函数f(x)在区间I上连续的定义.

定义8设函数f(x)在区间I上有定义.如果任给ε＞0，对每个x0∈I，都存在δ(x0，ε)＞0.对区间I中任何一点x，只要|x－x0|＜δ，就有|f(x)－f(x0)|＜ε.

经过一系列的讨论和比较，发现国内使用的教材中的定义具有一定的局限性，虽然对在某一点连续还是讲得通的，但将范围扩大到区间就不能很好地理解和运用.所以，通过上述关于极限和连续的定义，就能对极限和连续的定义有一个准确的把握，这对教师教学和学生学习也能起到重要的作用.

4 改进后的极限及连续定义在教学中的作用

4.1 做运算不受束缚

4.2 一致连续定义的理解

通过定义8给出的函数f(x)在区间I上连续的定义，一元函数一致连续的定义变得易于理解了.因为在一致连续定义中，对于每个x'∈I，都存在δ＞0(此处的δ只与ε有关)，对于区间I上任何一点x″，只要|x'－x″|＜δ，就有|f(x')－f(x″)|＜ε，可以看到，与函数一致连续的定义中“一致”两字联系起来，显得更具有连贯性了.这个改变的意义是十分重要的，因为一致连续定义中的“一致”一词若不能弄透彻，对于连续函数可积性定理，微积分中值定理等重大基本问题的证明都会受到影响.

［1］ 华东师范大学数学系.数学分析:上册［M］.3版.北京:高等教育出版社，2001:44－45.

［2］ 陈纪修，於重华，金陆.数学分析［M］.2版.北京:高等教育出版社，2004:71－72.

［3］ 李成章，黄玉民.数学分析:上册［M］.2版.北京:科学出版社，2007:46.

［4］ 菲赫金哥尔茨Г М.微积分教程:第1卷［M］.8版.北京:高等教育出版社，2006:92.

［5］ 克莱鲍尔G.数学分析［M］.上海:上海科学技术出版社，1983:118.

Research on Limit and Continuity’s Definition Style of“ε－δ”

LI Ke-yi

(School of Science，China University of Mining and Technology，Xuzhou221008，China)

By consulting a large majority of domestic course books and several foreign course books，indicates some defaults in definition of limit and continuity in the books.Compares and analyzes the defaults，redefines the value range of δ，and gives improved definition of limit and continuity.

function of one variable;limit;continuity;definition;interval

O171

A

1007－0834(2011)02－0020－03

10.3969/j.issn.1007－0834.2011.02.007

2011－03－02

李克毅(1988—)，男，山东济南人，中国矿业大学理学院在读硕士研究生.