链状四角系统及六角系统的GA指数

庄承州

（华南师范大学数学科学学院，广东广州 510631）

链状四角系统及六角系统的GA指数

庄承州

（华南师范大学数学科学学院，广东广州 510631）

设G=( )V,E是一个图，G的Geometric-Arithmetic指数（简称GA指数）在某些化学物品的物理性质方面具有良好的预测作用．通过计算，给出了直链、锯齿链四角系统和转向细胞个数为1的链状四角系统的GA指数公式；证明了六角系统中完全冷凝苯类的GA指数是其转向六边形个数和分枝六边形个数的单调递增函数．

GA指数；链状四角系统；六角系统；转向细胞；分枝六边形

分子的很多特性是由分子的拓扑结构所确定的，既包括那些与分子大小和形状有关的性质，如分子的体积、沸点、溶解度等；又包括分子的量子力学特性，如能量级、电子密度等，而这些性质本质上依赖于原子的连通性[1]．因此，给出反映分子结构基本特征的一种定量标准就具有重要意义，这样的定量标准通常称为拓扑指数[2-3]．其中，Geometric-Arithmetic指数（简称GA指数）在某些化学物品的物理性质方面，如熵、汽化焓、标准汽化焓、生成焓和离散系数等，有良好的预测作用[4]．

1 直链、锯齿链四角系统和转向细胞个数为1的链状四角系统的GA指数

1.1 基本定义

四角系统是2-连通平面图，其每个内部面都是单位正方形（又称为细胞），且每条边至少属于一个细胞(见图1).

定义1 G为一个四角系统，且G中任何4个细胞没有公共顶点，则称G为渺位四角系统；以G中所有细胞中心为顶点集，以相邻细胞中心连线为边集的图称为图G的特征图；如果特征图为一条路，则称G为链状四角系统（见图1）.

如果边e是G中两个细胞的公共边，则称边e为G的内部边，否则称边e为G的外部边.

定义2 G为含n个细胞的链状四角系统，如果去掉其所有的2度顶点及相关联边后为一条路，则称G为锯齿链四角系统，用Zn(n≥1)（图1（c））表示；不含4度顶点的链状四角系统为直链四角系统，用Ln(n≥1) （图1（a））表示[5].

用βn表示含n个细胞的链状四角系统的集合．设Bn∈βn,Bn中细胞c有2个相邻细胞，且它们与c的公共边不是c的一组对边，则称c是一个转向细胞，记Bn中转向细胞个数为t(Bn)．用一条折线顺序连接Bn中各细胞中心，则这折线拐点个数即为Bn转向细胞个数t(Bn)，于是0≤t(Bn)≤n-2,t(B1)=t(B2)=0，特别，当t(Bn)=0时，Bn=Ln；当t(Bn)=n-2时，Bn=Zn．

图1 链状四角系统

1.2 主要结果及其证明

图2 链状四角系统B32、B42、B52和Bn2

2 完全冷凝苯的GA指数

图3 不含分枝的完全冷凝苯L′n、B′n和Z′n

由（1）的结论易知（2）、（3）得证.

下面计算含分枝的（至少存在一个六边形有3个相邻六边形）完全冷凝苯，用Fn(n≥4)表示．对于Dn∈Fn，若Dn（如图4）的六边形有3个相邻的六边形，则称该六边形为Dn的分枝六边形，记b(Dn)为Dn分枝六边形个数；若Dn中六边形H仅有2个相邻六边形，且与H的公共边不是H对边，则称H是转向六边形，用t(Dn)表示Dn中转向六边形的个数.

图4 含分枝的完全冷凝苯Dn

将Dn看成由Dn-1添加Hn得到，设与Hn相邻六边形为Hn-1，则通过计算可知：对于n≥4,Dn∈Fn,有

[1]ROUVRAY D H.Predicting chemistry from topology[J]．Sci Amer，1986，255：42-47.

[2]GUTMAN I.Extremal hexagonal chains[J]．J Math Chem,1993，12：197-210.

[3]邓汉元，徐立新．双圈图的Laplace谱半径[J]．湖南师范大学自然科学学报，2002，25（1）：1-3.

[4]YUAN YAN，ZHOU BO.On geometric-arithmetic index[J]．J Math Chem，2010，47：833-841.

[5]魏首柳．链状四角系统的Randic指数[J]．闽江学院学报，2010，31（2）：9-12.

[6]邓汉元，夏建业，夏方礼．六边形系统的Randic指数[J]．湖南师范大学：自然科学学报，2003，26（3）：9-13.

Geometric-Arithmetic Index of the Chain Polyomino Systems and Hexagonal Systems

ZHUANG Cheng-zhou
(School of Mathematical Sciences,South China Normal University,Guangzhou 510631,China)

LetG=(V,E)be a graph,The Geometric-Arithmetic index(called GA index)serves as a good predictor in the physical properties of certain chemicals.Using counting arguments，we can get the GA index of linear chain polyomino systems,zigzag chain polyomino systems,and chain polyomino systems with the number of turned cell being one.And we prove that the GA index is monotone increasing over the number of turned hexagons and the number of branched hexagons in hexagonal systems.

GA index；chain polyomino systems；hexagonal systems；turned cell；branched hexagons

O157.5

A

1007-6883(2011)06-0017-05

2011-09-20

庄承州（1989-），男，广东普宁人，华南师范大学数学科学学院2011级在读研究生.

责任编辑 朱本华