几种不同分子速率分布中速率分布宽度与温度的关系

陈光龙 徐红霞 汪丽莉 季 涛

（上海工程技术大学基础教学学院，上海 201620）

几种不同分子速率分布中速率分布宽度与温度的关系

陈光龙 徐红霞 汪丽莉 季 涛

（上海工程技术大学基础教学学院，上海 201620）

分析了几种速率分布函数中速率分布宽度与温度的关系，并指出温度反映气体分子速率分布宽度这一物理含义具有更普遍的意义.

速率分布；射流分子束；超声分子束

1 引言

大学物理关于气体动理论的教学中，麦克斯韦速率分布既是教学重点，也是教学难点［1，2］.这部分的教学，通常先是探讨理想气体温度与气体分子平均平动动能的关系，而后直接给出平衡态理想气体中分子速率分布所遵循的麦克斯韦速率分布函数，进而讨论气体分子的三种速率，也就是最概然速率、平均速率和方均根速率.显然，通过最概然速率与平衡态理想气体温度之间的关系很容易得到速率分布曲线的峰值（也就是最概然速率）与气体温度的定性关系.这也是此部分教学的一个重要知识点.然而，教学中往往忽略了速率分布曲线的宽度随温度的变化情况，而这一变化规律却反映了温度更广义上的物理含义.本文将分别以平衡态理想气体速率分布函数、射流分子束分子速率分布函数和超声分子束纵向速率分布函数为例，详细研究这些速率分布曲线对应的速率分布宽度与温度的关系，指出温度对应的更普遍的物理含义.

2 麦克斯韦速率分布曲线随温度的变化

当一定量的气体处于平衡态时，气体分子的速率分布满足麦克斯韦速率分布规律.气体分子的速率分布函数可表示为［3］

式中，v为气体分子的热运动速率；T为气体的温度；m为气体分子的质量；k为玻耳兹曼常数.这种分布情况下的最概然速率vp可表示为vp＝（2kT/m）1/2.因此麦克斯韦速率分布函数又可表示为

图1（a）分别给出了一定量处于平衡态的氩气在两种不同温度时所对应的速率分布曲线，其中实线代表T＝300K，虚线代表T＝1000K.由图1和最概然速率表达式vp＝（2kT/m）1/2都可以看出，气体温度越高，分子的最概然速率越大，同时速率分布曲线越平坦；例如平衡态氩气在温度为300K和1000K时对应的vp分别为371m·s－1和677m·s－1；反之气体温度越低，分子的最概然速率越小，速率分布曲线越陡峭.简而言之，就是温度高低反映了气体分子的最概然速率大小.同样，我们也可以看出，随着气体温度的升高，速率分布曲线的宽度也在增加，这可定性地理解为：随着温度的升高，气体分子热运动的平均速率变大，因而速率分布宽度变大.显然，理想气体分子速率分布宽度与气体的温度紧密相关.

图1

为了更好地比较速率分布宽度与温度的定量关系，我们定义速率分布曲线的半高全宽为速率分布宽度Δv.我们计算了平衡态氩气在不同温度下对应的速率分布宽度Δv1，其结果如图1（b）所示.从图中可以明显看出，随着气体温度的升高，速率分布宽度越来越宽.通过对这些数值点的非线性拟合，可以给出平衡态氩气速率分布宽度Δv1随温度变化的关系式，结果可表示为Δv1～aT0.5（a为一与气体种类有关的比例系数）.也就是说，平衡态理想气体的速率分布宽度约与温度的平方根成正比，随着温度的升高而加宽.平衡态理想气体的温度高低反映了该气体分子的速率分布宽度大小.因此我们可以这样理解，温度在微观机制上反映了气体分子无规则热运动的剧烈程度，也反映了气体分子速率分布情况.为了更好地理解温度的这一微观物理意义，我们来看看另外两种重要的速率分布（射流分子束以及超声分子束）中，气体分子速率分布与温度的变化关系.

3 射流分子束中气体分子速率分布曲线随温度的变化

当较低背压气体经小孔（喷嘴）向真空扩散时（此时的气体分子的平均自由程远大于小孔的尺寸）会形成射流分子束，也就是分子射线.在射流分子束形成过程中分子间的碰撞几率很小，经过小孔后分子的温度和速度分布基本不变，也即分子的能量基本不变.但由于射流分子束具有一定的定向运动速度，气体分子朝各个方向运动的机会不是均等的，因而此种分子束中分子速率分布会不同于平衡态时分子运动遵循的麦克斯韦速率分布规律，但它与麦克斯韦速率分布律又有一定的联系.如果在实验上测量出分子射线中分子速率分布规律，就可根据这一速率分布规律来确定容器中处于平衡态的金属蒸气中分子的速率分布规律，也就是麦克斯韦速率分布规律.这也是大学物理课程教学中讲解速率分布测量实验时值得注意的知识点.射流分子束中气体分子速率分布可表示为［4］

图2（a）同时给出了氩气在T＝300K时平衡态气体分子速率分布曲线f1（v）和射流分子束中气体分子速率分布曲线f2（v）.从图中可以看出射流分子束对应了较大的最概然速率，这是由于较大速率的分子具有较大的几率通过小孔向真空逃出形成射流分子束.如图2（b）所示，我们也分别给出了氩气射流分子束在两种不同温度时所对应的速率分布曲线，其中实线代表T＝300K，虚线代表T＝1000K.与平衡态速率分布相似，气体分子的最概然速率随气体温度的升高而增加，速率分布曲线的宽度也随着气体温度的升高而增加.例如在温度为300K和1000K时对应的Δv2分别为431m·s－1和788m·s－1；显然，射流分子束中速率分布宽度也与温度紧密相关.

图2

下面我们进一步探讨一下射流分子束速率分布宽度与温度的关系.图3（a）给出了一定量的氩气射流分子束的速率分布宽度与温度的数值关系图.从图中可以明显看出，随着气体温度的升高，速率分布宽度越来越高.通过对这些数值点的拟合，得到的氩气分子速率分布宽度随温度变化的关系式也可以表示为Δv2～a T0.5.图3（b）综合了图1（b）和图3（a），同时给出了麦克斯韦速率分布和射流分子束中的速率分布宽度与温度的关系曲线.从图3（b）可以看出，这两种速率分布宽度与温度的变化关系是相同的.也就是说射流分子束速率分布中温度同样反映了速率分布宽度，温度越低，速率分布宽度越小.

图3

4 超声分子束流中气体分子速率分布曲线随温度的变化

超声分子束技术是研究分子结构的一种重要的物理和化学实验手段，在工业上也有着广泛的应用.当较高背压气体经喷嘴向真空绝热膨胀形成超声分子束的过程中（此时的气体分子的平均自由程远小于小孔的尺寸），大量分子间碰撞使得与气体分子热运动相关的部分内能转化为气体分子定向运动动能.根据气体动力学基本方程可求得超声分子束的温度会降低（气体的绝热膨胀冷却）.在超声分子束研究中，常用平动温度的减少来表示这一冷却过程.但要注意，平动温度降低，并不是说气体分子的平均平动动能减少，而是气体分子的无规则运动的平均平动动能的减少.在超声分子束及相关的实验中，通常根据分子束中纵向分子速率（沿分子束前进的方向）分布宽度来确定超声分子束中气体的平动温度.这里我们只讨论超声分子束中分子的纵向速率分布与平动温度的关系.

超声分子束中分子的纵向速率分布函数可表示为［5］

式中，Na为归一化常数；vs是分子束的纵向上的定向速率；2kT/m 可用vk2表示.则式（4）又可表示为

图4（a）给出了两种情况下的氩气气体速率分布曲线，虚线表示常温下（T＝300K）平衡态氩气分子速率分布曲线f1（v），实线为超声分子束（平动温度为T＝30K，分子束的纵向上的定向速率vs＝1000m·s－1）中气体分子的速率分布曲线f3（v）.从图中可以看出，超声分子束虽然具有较低的平动温度T，却对应着较大的最概然速率（1013m·s－1），也就是说此种情况下温度T已经不能反映最概然速率的大小.但图中同时还可以看出较低的平动温度T，仍然对应着较窄的速率分布宽度（Δv3＝194m·s－1）.需要注意的是，超声分子束纵向速率分布中的vk2虽然也等于2kT/m，但已经不能用来表示最概然速率的大小.例如可以算出在图4（a）的超声分子束（T＝30K）中，vk＝117m·s－1，已远远小于其对应的最概然速率（1013m·s－1）.计算表明，超声分子束中最概然速率和纵向上定向速率vs是紧密相关的，最概然速率随着vs的增加而增加.例如：当T＝30K，vs＝500、1000、1500和2000m·s－1时，其对应的最概然速率分别为526、1013、1509、2007m·s－1.因此，对超声分子束的纵向速率分布而言，温度T不是反映最概然速率或纵向定向速率的大小，而只是反映纵向速率分布宽度.

我们可进一步探讨超声分子束速率分布宽度与温度T的关系.图4（b）给出了一定量的氩气超声分子束在分子束纵向上的定向速率vs分别为500、1000、1500和2000m·s－1时纵向速率分布宽度与温度的数值关系图.从图4（b）中可以明显看出，对不同vs，随着气体温度的升高，速率分布宽度都是越来越宽的.这与前两种速率分布中速率分布宽度与温度的关系是定性一致的.但要注意的是，分子束的定向速率vs对超声分子束速率分布宽度与温度的关系曲线略有影响.具体来说，当vs＝500、1000、1500和2000m·s－1时，通过对图4（b）中数值点的拟合，得到的速率分布宽度随温度变化的关系式略有差别，可以分别表示为Δv3～a T0.46；～a T0.48；～a T0.49和～a T0.50.这表明超声分子束中纵向速率分布宽度与温度T的关系式不是单一的，而与分子纵向定向速率vs有关.这与前两种速率分布中速率分布宽度与温度的关系有所不同.但这并不是意味着温度能反映纵向定向速率的大小.正如前文所述，温度T不能反映纵向定向速率的大小，而只是反映纵向速率分布宽度，只不过在由纵向速率分布宽度得到温度时需要考虑纵向速率的大小而选择恰当的关系式.

图4

总之，在超声分子束中，由于形成的趋于单一的气体宏观运动，气体分子纵向运动的平均平动动能增大，纵向速率分布宽度却减少，但这并不意味着平动温度的增加，而是平动温度的减少.或者说，平动温度反映了纵向速率分布宽度大小，而不是纵向定向速率的大小.

5 结论

本文分析了三种气体分子速率分布，指出气体温度与速率分布曲线的宽度紧密相关.温度反映了气体分子无规则热运动的剧烈程度，反映了分子所具有的无规则运动的平均平动动能的大小，同时也反映了气体分子速率分布情况.在速率分布曲线上，温度的高低反映了速率分布曲线的宽度.温度的这一物理含义具有更为普遍的意义.

［1］ 窦志国.关于分子分布律的教学［J］.物理与工程，2001，11（4）：15

［2］ 关荣华.关于气体中有无速率为无穷大分子的再讨论［J］.物理与工程，2003，13（1）：52

［3］ 马文蔚等.物理学［M］.北京：高等教育出版社，2006

［4］ 吴瑞贤，吴剑锋.用计算机绘图研究分子射线及蒸气源中分子的速率分布［J］.大学物理，1998，17（7）

［5］ H Haberland，U Buck and M Tolle.Velocity distribution of supersonic nozzle beams.Rev.Sci.Instrum.1985，56（9）：1712

DEPENDENCES OF VELOCITY DISTRIBUTION WIDTH ON TEMPERATURE FOR SOME DIFFERENT KINDS OF VELOCITY DISTRIBUTIONS

Chen Guanglong Xu Hongxia Wang Lili Ji Tao
（School of Fundamental Studies，Shanghai University of Engineering Science，Shanghai 201620）

The dependences of velocity distribution width on temperature were investigated for some different kinds of velocity distributions.It is found that the temperature corresponds to the velocity distribution width for these velocity distributions in a more general sense.

velocity distribution；effusive molecular beam；supersonic molecular beam

2011－01－04；

2011－09－18）

上海市重点课程建设项目《大学物理》（基金号：S200921001）和上海市优秀青年教师基金（gjd－10018）资助.