两种由U(1)主丛构成的Kaluza－Klein理论

俞泽辰

(内蒙古铁骑集团，呼和浩特 010010)

两种由U(1)主丛构成的Kaluza－Klein理论

俞泽辰

(内蒙古铁骑集团，呼和浩特 010010)

比较了两种由U(1)主丛构成的Kaluza－Klein统一理论，它们的区别主要在于对不同空间维间基底的泊松括号交换关系的不同处理，决定了电磁场与引力场的不同的统一的方式。从而认为深入探究高维空间中自然力的统一的核心在于:从它们关于不同空间维间基底的交换关系(作为量子条件的缘起)切入。

Kaluza－Klein理论;U(1)主丛;双重纤维丛;基底交换关系

统一描述四种自然力——引力、电磁力、强力、弱力，始终是理论物理学追求的目标。20世纪20年代，Kaluza－Klein五维理论［1］为增加度规张量分量的数目引入了第五维空间，统一了引力与电磁场。在其后的几十年里，人们用高维时空对统一自然力作了很多努力，诸如11维超引力和10维超弦等［2，3］。而对传统的Kaluza－Klein理论本身也作了更深入的改进，其中特别是两种以规范群U(1)为纤维的主丛理论，即第一种U(1)主丛K－K理论——第五维半径与Planck长度密切相联系的五维U(1)主丛K－K理论［4］和第二种U(1)主丛K－K理论——含标量场的双重纤维丛K－K理论［5，6］。本文即对这两种理论进行比较、分析，找出新切入点。

1 U(1)主丛K－K理论——第五维半径与Planck长度密切相联系的五维U(1)主丛K－K理论［4］

近代的主丛表达较早年的Kaluza－Klein理论有两点进展:

1.1 在主丛表述中，按近代关于电磁场是与位相规范群相联系的规范场观点，第五维是与带电粒子的位相相联系的;

1.2 第五维是闭合的。因为电荷的规范变换是紧致的，因而是U(1)群，其流形是闭合的圆。在此基础上，该理论假定五维空间度规为

其中第五维坐标θ在主丛表述中是电荷规范群U(1)的位相参数，γ0为第五维半径。取五维空间主丛P (M4，U(1))在点(xμ，θ)处的非坐标基(活动标架)为

由此计算出这组基的交换关系(泊松括号)为

其中Fμv=∂μAv－∂vAμ是电磁场张量。在引入与(2)对偶的基的一次微分形式后，五维度规(1)变成

由标架度规γAB与活动标架下Christoffel联络和Riemann曲率张量的关系，求得五维空间中标量曲率为

其中R为时空的标量曲率。显然与第五维坐标无关。

最后导至通常的含电磁场的Einstein－Maxwell方程的变分原理

由此可见，与引力统一的电磁场来自前三维基底间的式(4)中的不对易交换关系

因此与第五维坐标θ无关，所以看不到第五维。而且得到

2 U(1)主丛K－K理论——含标量场的双重纤维丛K－K理论［5，6］

2.1 这种理论(1986)［5］从研究时空流形度规的空间分布与定域变化都受双群U(1)2支配入手，首先阐明了U(1)⊂U(1)2与U(1)2的环绕数关系，以及群U(1)2的局部U(1)的群对度规规定的表现与局部U (1)子群元素间的对应关系。从而引出引力相互作用存在U(1)2下的内对称规范场，与电磁规范群U (1)关系下的电磁规范场有相似之处。从而认为，真正的统一理论应当是引力场与U(1)2的规范场的统一;进一步得到对Kaluza－Klein理论的实质认识，即可将Kaluza－Klein理论解释成把U(1)规范理论当作U(1)2的规范理论的结果。而后者形式上包括前者。

2.2接着(1994)［6］具体提出利用双重纤维丛P2(P1(M，U(1))，U(1))建立引力－电磁场－标量场的Kaluza－Klein理论，并给出标量场的一种新的解释。

P2的非坐标基为{Di，D5，D6}，

α，β为耦合常数，θ为第五维位相坐标。

.假定Ai和φ都只是时空坐标Xi的函数。由此求得非坐标基的交换关系为

由P2上联络和曲率张量求得曲率标量为

其中RM为四维时空M的曲率标量。取为作用量，可得作用量

该作用量由四维时空曲率，电磁场和标量场的动能项构成，是含标量场的K－K理论的作用量。依耦合常数的不同，有下列三种交换关系的不同情况:

∂=β=0，此时作用量仅由广义相对论的Riemann曲率构成

这是通常用标量曲率表示的引力的作用量。∂≠0，β=0，此时作用量退化为

这就是统一引力－电磁场的K－K理论的作用量，与引力统一的电磁场来自不对易交换关系［Di，Dj］=－∂Fij∂6≠0。

这则是标量场φ与广义相对论耦合的作用量(1957，Bergmann，Leipnik)，由此将标量场几何解释为它是双重纤维丛上的联络，更来自于不对易交换关系［Di，D5］=－β∂iφ∂6≠0。这正是含标量场的双重纤维丛K－K理论。

3 讨论

在以上两种由U(1)主丛构成的Kaluza－Klein理论中，都用它们的不同维的基间的不对易交换关系得到相应的电磁场与引力的不同的统一形式:

利用前三维基间的不对易交换关系统一引力与电磁场。第一种U(1)主丛K－K理论和第二种U(1)主丛K－K理论中耦合常数∂≠0时的情况都是如此。它们的前三维间基的不对易交换关系分别是

而利用第五维与前三维间基的不对易关系

得到的便是含标量场φ的双重纤维丛K－K理论。

从Kaluza－Klein理论的五维观点看，从增加维数为增加张量数目，已经发展为用高维研究自然力的统一，将反映微观量子属性的不对易引入到主丛的相关基的交换关系中，寻求引力与电磁场，以至更多量子场的统一。因此，从主丛的基的交换关系作为量子条件的缘起切入，是统一自然力的重要途径。这就是比较两种主丛U(1)K－K理论带给我们关于深入探究五维甚至更高维空间的本质与统一属性的重要启示。

［1］P.G.柏格曼.相对论引论［M］.北京:人民教育出版社，1979

［2］李新洲.现代卡卢扎——克莱因理论［J］.自然杂志1985，(8):771

［3］Paul Davies.11维时空的世界［J］.世界科学，1985，(5):26

［4］吴詠时.Planck长度和统一引力——电磁的五维从理论［J］.物理学报，1980，(3):395

［5］卲常贵，内对称引力规范理论［J］.1986，(2):72

［6］侯喜文，冯笙琴，邵常贵.含标量场的kaluza－klein理论［J］.黄淮学刊，1994，(2):48

O572.2

A

1009－5462(2011)03－0039－03

2011－07－16

俞泽辰，男，天津人，内蒙古铁骑集团高级工程师。

［责任编校:张彩红］