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一个新的极小谱任意复符号模式矩阵

2011-12-09张晓婷高玉斌

关键词:中北大学任意性符号

张晓婷,高玉斌

(中北大学 数学系,山西 太原 030051)

一个新的极小谱任意复符号模式矩阵

张晓婷,高玉斌

(中北大学 数学系,山西 太原 030051)

若给定任意一个n阶首1复系数多项式 f(λ),都存在一个复矩阵B∈Q(A) ,使得的特征多项式为 f(λ),则称n×n复符号模式矩阵A是谱任意的.如果A是一个谱任意复符号模式矩阵且A的任意真子模式都不是谱任意的,那么A是一个极小谱任意复符号模式矩阵.本文扩展了N-J方法证明了一个的复符号模式矩阵是极小谱任意的n≥4.

复符号模式;蕴含幂零;谱任意模式;极小谱任意

对任意给定的的实数a,我们用sgn(a)表示其符号,根据a>0,a<0分别定义其符号为1,-1和0.元素取自于{1,-1,0}的矩阵称为符号模式矩阵.对于给定的实矩阵B,由其每个元素符号所组成的矩阵称为B的符号模式矩阵,记为sgn(B).用Qn表示全体n阶复符号模式矩阵组成的集合.对任意A∈Qn,所有与A有相同符号模式的复矩阵组成的集合{B |sgnB=A} 称为A所决定的定性矩阵类,记为Q(A).

若A=(ak)l和B=(bk)l是两个n×n符号模式矩阵,如果当bkl≠0时,akl=bkl,则称A是B的母模式,也称B是A的子模式.每个符号模式是其本身的母模式和子模式.若B是A的子模式,且B≠A,则称B是A的真子模式.

设A=(ak)l和B=(bk)l是两个符号模式矩阵,则称S=A+iB为n阶复符号模式矩阵,其中i2=-1.显然skl=akl+ibkl,k,l=1,2,…,n.所有与S有相同符号模式的复矩阵组成的集合称为S所决定的定性矩阵类.记为

Qc(S)={C =A+iB|sgn(A)=A,sgn(B)=B}其中A,B为n×n实矩阵.

若S1=A1+iB1和S2=A2+iB2是两个n×n复符号模式矩阵,如果A1是A2的子模式,且B1是B2的子模式,则称S1是S2的子模式,也称S2是S1的母模式.若S1是S2的子模式,且S1≠S2,则称S1是S2的真子模式.若S=A+iB是n阶复符号模式矩阵,符号模式矩阵A和B分别为S的实部和虚部,则A和B的所有非零元的个数即为S的非零元的个数.

设S=A+iB是n≥2阶复符号模式矩阵,如果复数矩阵C∈QC(S)的特征多项式是 f(λ)=λn,则称S是蕴含幂零的,C是幂零复矩阵.一个复符号模式矩阵S是谱任意的,当且仅当对给定的任意一个次首1复系数多项式 f(λ),都存在QC(S)中的一个复矩阵,使得它的特征多项式为 f(λ).如果S是一个谱任意复符号模式矩阵,且S的任意真子式都不是谱任意的,则S是一个极小谱任意复符号模式矩阵.

1 N-J方法

谱任意符号模式的概念最早是在文献[1]提出的,并且给出了运用N-J方法证明一个实符号模式及其它的母模式都是谱任意的.在文章[2]中提出了著名的2n猜想,即任意不可约谱任意符号模式矩阵至少有2n-1个非零元.文章[3]中对ray模式的谱任意性进行了讨论,

将N-J方法推广到ray模式,并且给出了一类谱任意ray模式.文章[4-7]中对复符号模式的谱任意性进行了研究,将N-J方法推广到复符号模式,对复符号模式谱任意的研究有重要的意义..

引理1S=A+iB是n≥2阶复符号模式矩阵,且至少有2n个非零元.

1)在复符号模式矩阵类QC()S中找一个幂零复矩阵C=A+iB,其中A和B为实矩阵,且A∈Q(A),B∈Q(B).

2)将A和B中的2n个非零元(记为r1,r2,…,r2n),替换为变量t1,t2,…,t2n.

3)替换后的矩阵的特征多项式表达如下:

5)如果雅可比行列式J在幂零点(t1,t2,…,t2n)=(r1,r2,…,r2n)处不等于零,则S的任意母模式是谱任意的.

2 主要结果

本文主要讨论下面的n阶(n≥4)符号模式

其中ai,bk为正实数,j=1,…,n,k=1,…,n.

下面先给出一个非零实多项式的零点的定义(有限次).如果ft是一个非零实多项式,令

若Zf是非空的,则Zf的最大值记为max( )Zf.若Zf是空的,则记为max(Zf)=-∞.

下面将用∂(f)来表示多项式 f(t)的次数.

[1]Drew J H,Johnson C R,Olesky D D.Pvan den Driess⁃che,Spectrally arbitrary patterns[J].Linear Algebra and its Applications,2000,308:121-137.

[2]Britz T,McDonald J J,Olesky D D.Pvan den Driessche,Minimal spectrally sign patterns[J].SIAM Journal on Ma⁃trixAnalysis and Applications,2004,26:257-271.

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[4]Gao Y B,Shao Y L,Fan Y Z.Spectrally arbitrary complex sign pattern matrices[J].Electronic Journal of Linear Alge⁃bra,2009,18:674-692.

A New Matrix of Minimally Spectrally Arbitrary Complex Sign Patterns

ZHANG Xiaoting,GAO Yubin
(Department of Mathematics,North University,Taiyuan030051,China)

A complex sign pattern matrixAof order n is a spectrally arbitrary pattern if given any monic polynomialf(λ)with coefficients fromCof order n,there exists a complex matrixBinQ(A)such that the characteristic polynomial ofBisf(λ).IfAis a spectrally arbitrary complex sign pattern matrix,and no proper subpattern ofAis spectrally arbi⁃trary,thenAis a minimal spectrally arbitrary complex sign pattern matrix.In this paper,we extend the Nilpotent-Jacobi⁃an method to prove a complex sign pattern matrix is minimally spectrally arbitrary pattern for all ordersn≥4.

Complex Sign pattern;Potentially nilpotent;Spectrally arbitrary pattern;Minimally spectrally arbitrary

O 151.21

A

1674-4942(2011)02-0119-04

2010-12-27

国家自然基金项目(11071227);山西省自然科学基金资助项目(2008011009)

毕和平

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