离散的修正海森堡铁磁链方程的研究

田野，张峰，格日措毛

（1.河北北方学院理学院，河北张家口 075000；2.青海师范大学民族师范学院，青海西宁 810008）

离散的修正海森堡铁磁链方程的研究

田野1，张峰1，格日措毛2

（1.河北北方学院理学院，河北张家口 075000；2.青海师范大学民族师范学院，青海西宁 810008）

对于离散的修正海森堡铁磁链方程，相关研究表明若将其自旋矢量用闵可夫斯基空间中的离散曲线的单位矢量代替，则可给出与其几何等价的可积微分－差分方程.通过规范变换具体证明了相关的离散修正海森堡铁磁链方程与其几何等价的可积微分－差分方程之间具有规范等价性关系.

离散可积方程；离散的修正海森堡铁磁链方程；规范等价性

海森堡铁磁链方程及其离散情形下的可积性的研究多年来一直受到人们的广泛关注.已有的研究表明（离散）海森堡铁磁链方程与（离散）非线性薛定谔NLSE＋之间存在规范等价性和几何等价性关系［1－6］.

另外人们对各种推广的海森堡铁磁链方程也进行了研究，修正海森堡铁磁方程便是其中一个十分重要的可积方程［7］，它与非线性薛定谔方程NLSE－之间不仅存在规范等价性关系［8］，而且还存在几何等价性关系［9］.需要指出的是在证明几何等价性关系时，与海森堡铁磁方程的不同之处在于将修正海森堡铁磁链方程的自旋矢量等价于闵可夫斯基空间一曲线的切矢量，然后利用相应的Hasimoto变换即可给出NLSE－.对于离散的修正海森堡铁磁链方程，最近已有文献利用闵可夫斯基空间中离散曲线的运动，给出了与其相应的可积微分－差分方程之间的几何等价性关系［10］，但对其规范等价性一直尚未有相关研究报道.本文将就该问题进行深入讨论和研究.

1 离散的修正海森堡铁磁链方程

首先对离散可积的修正海森堡铁磁链方程及其几何等价的可积微分－差分方程做一简单介绍.离散可积的修正海森堡铁磁链方程为［10］

这里sn2＝－1.Yu等人在文献［10］中用闵可夫斯基空间M3中的离散曲线的切矢量tn替代s n并利用离散的Frenet－Serret方程

2 离散的修正海森堡铁磁链方程规范等价性

上面介绍了离散可积的修正海森堡铁磁链方程（1）与可积微分－差分方程（7）之间的几何等价性关系.

现在来具体证明它们之间也具有规范等价性关系.为此先给出它们的Lax表示.

对于方程（1），其相应的Lax表示为

为证明方程（1）与方程（7）是规范等价的，假设｛qn（t）｝是方程（7）的解，其对应Lax对（11）的解可以记为｛ψn（t，z）｝.考虑以下规范变换

其中g n是Lax对（11）在z＝1的基本解.下面证明上面的｛ψn，（t，z）｝是Lax对（8）的解.将（13）代入式（11）中的第1式，并将式（8）代入式（13），通过比较所得2式，很容易得到

由于gn是Lax对（11）在z＝1的解，可以直接验证gn具有如下形式：

这样由（17）和（18）可知Sn具体形式取为（10）.

下面将（13）代入（11）中的第2式，并将所得表达式与（13）式关于时间的导数进行对比，很容易得到

3 结论

对于离散的修正海森堡铁磁链方程，已有相关文献给出了与其几何等价的可积微分－差分方程.在本文中通过利用可积系统中的规范变换方法，严格证明了相关的离散修正海森堡铁磁链方程与其几何等价的可积微分－差分方程之间还具有规范等价性关系，从而进一步深入揭示了这些方程之间的内在联系.

［1］郭柏灵，丁时进.自旋波与铁磁链方程［M］.杭州：浙江科学技术出版社，2000.

［2］LAKSHMANAN M，RUIJGROK T M，THOMSON C J.On the dynamics of a continuum spin system［J］.Physica A，1976，84（3）：577－590.

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［7］田野.离散的修正海森堡铁磁链方程的规范等价性研究［D］.北京：首都师范大学数学科学学院，2008.

［8］DING Q.A note on the NLS and the Schrödinger flow of maps［J］.Physics Letters A，1998，248（1）：49－56.

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Investigation of Discrete Modified Heisenberg Ferromagnet Equation

TIAN Ye1，ZHANG Feng1，Gericuomao2
（1.College of Science，Hebei North University，Zhangjiakou 075000，China；2.Minority Normal College，Qinghai Normal University，Xining 810008，China）

For the discrete integrable modified Heisenberg ferromagnet equation，it is known that the geometric equivalent integrable differential－difference equation can be obtained by identifying the spin vector with the unit vectors of discrete curve in Minkowski space.In this paper，we prove that there is the gauge equivalence between the discrete modified Heisenberg ferromagnet equation and the corresponding geometric equivalent differential－difference equation.

discrete integrable equation；discrete modified heisenberg ferromagnet equation；gauge equivalence

O 175.7

A

1000－1565（2011）03－0244－05

2010－01－10

国家自然科学基金资助项目（10975102）

田野（1976一），女，内蒙赤峰人，河北北方学院讲师，主要从事可积系统方面的研究.E－mail：tianye8012＠sina.com

孟素兰）