带泊松跳马尔可夫调制随机微分方程的渐近稳定性

赵桂华，王黎明

（1.江苏科技大学 数理学院，江苏 镇江 212003；2.哈尔滨工业大学 数学系，山东 威海 264209）

带泊松跳马尔可夫调制随机微分方程的渐近稳定性

赵桂华1，王黎明2

（1.江苏科技大学 数理学院，江苏 镇江 212003；2.哈尔滨工业大学 数学系，山东 威海 264209）

对带泊松跳马尔可夫调制随机微分方程的渐近稳定性进行了研究.通过对解析解的分析，给出了方程解析解渐近稳定的充分条件.

随机微分方程；泊松；马尔可夫调制；渐近稳定

MSC 2010：65C30；60H10

随机微分方程作为重要的数学模型广泛应用于物理学、生物学、经济学等领域.马尔可夫调制随机微分方程解析解的稳定性已经引起了学多学者的关注［1-2］，关于带泊松跳随机微分方程解析解稳定性的研究也有很多［3-5］.近年来，学者们开始关注带泊松跳马尔可夫调制随机微分方程［6-7］.

本文将讨论下面方程解析解的渐近稳定性.

这里x（·），μ（·），r（·）∈R；B（t）是一维布朗运动；N（t）是强度为λ的泊松过程；r（t），t＞0是取值于S＝ ｛1，2，…，n｝的马尔可夫链，其对应的算子为Γ＝ （γij）n×n，即

r（·）的几乎每一条样本轨道是右连续的阶梯函数且在R＋∶＝［0，∞）上的任何一个有限子区间上至多有有限个跳跃点［5］.

在以满足正常条件的｛Ft｝t≥0为基本滤子的概率空间（Ω，F，P）中展开.Ft＝σ（N∪σ（B（s），r（s），N（s）∶0≤s≤t）），其中N表示包含所有零测度集的集合，即N＝ ｛A∈F∶P（A）＝0｝.用｜·｜表示向量的Euclidean范数或矩阵的迹范数，〈·〉表示标准内积.此外，还假设r（t）是不可约的［5］，即对任给的i，j∈S能找到i1，i2，…，ik∈S使得

文献［8］给出的关于随机微分方程解析解的渐近稳定性定义.

定义1若对于任意的x0，r0有

其中δ＞0.若i≠j，则γij≥0表示状态i到状态j的转移率，且

则称方程 （1）的解析解是渐近稳定的（有时称为大范围内渐进稳定）.

定理1如果

那么方程 （1）的解析解是渐近稳定的.对于所有的j∈S，μj＝μ（j），σj＝σ（j）.

证明由文献［9］可知，方程（1）的解为

［1］HIGHAM D J，MAO Xuerong，YUAN Chengui.Preserving exponential mean-square stability in the simulation of hybrid stochastic differential equations［J］.Numer Math，2007，108：295-325.

［2］YUAN Chengui，MAO Xuerong.Convergence of the Euler-Maruyama method for stochastic differential equations with Markovian switching［J］.Math Comput Simul，2004，64：223-235.

［3］HIGHAM D J，KLOEDEN P E.Numerical methods for nonlinear stochastic differential equations with jumps［J］.Numer Math，2005，101：101-119.

［4］HIGHAM D J，KLOEDEN P E.Convergence and stability of implicit methods for jump-diffusion systems［J］.Int J Numer Anal Mod，2006，3：125-140.

［5］HIGHAM D J，KLOEDEN P E.Strong convergence rates for backward Euler on a class of nonlinear jump-diffusion problems［J］.J Comput Apll Math，2007，205：949-956.

［6］WANG Lasheng，XUE Hong.Convergence of numerical solutions to stochastic differential delay equations with Poisson jump and Markovian switching［J］.Appl Math Comput，2007，188：1161-1172.

［7］ZHAO Guihua，SONG Minghui，LIU Mingzhu.Numerical solutions of stochastic differential delay equations with jumps［J］.Int J Numer Anal Mod，2009，6：659-679.

［8］HIGHAM D J.Mean-square and asymptotic stability of the stochastic theta method［J］.SIAM J Numer Anal，2000，38：753-769.

［9］GARDON A.The order of approximations for solutions of Ito-Type stochastic differential equations with jumps［J］.Stochas Anal Appl，2004，22：679-699.

Asymptotical Stability of Stochastic Differential Equations With Poisson Jump and Markov Switching

ZHAO Gui-hua1，WANG Li-ming2
（1.Department of Mathematics，Jiangsu University of Science and Technology，Zhenjiang 212003，China；2.Department of Mathematics，Harbin Institute of Technology，Weihai 264209，China）

This paper deals with the asymptotic stability of stochastic differential equations with Poisson jump and Markov switching.By studying the analytic solution，the asymptotic stability condition of analytic solution is given.

stochastic differential equation；Poisson；markov switching；asymptotical stability

O 241.8

A

1000-1565（2011）06-0578-03

2011-09-20

国家自然科学基金资助项目（11062189）；江苏科技大学博士启动基金资助项目（35050903）

赵桂华（1981-），女，江苏泰州人，江苏科技大学讲师，博士，主要从事微分方程数值解研究.

E-mail：zgh-hit1108＠163.com

王兰英）