弹性地基上空间巨型框架的重力二阶效应分析

马伏龙，龚耀清

（1.宁夏大学 机械工程学院，宁夏 银川 750021；2.河南理工大学 土木工程学院，河南 焦作 454000）

弹性地基上空间巨型框架的重力二阶效应分析

马伏龙1，龚耀清2

（1.宁夏大学 机械工程学院，宁夏 银川 750021；2.河南理工大学 土木工程学院，河南 焦作 454000）

对软土地基上的超高层建筑空间巨型框架的二阶效应分析建立了一种新的简化分析模型.在空间巨型框架中，仅考虑二级框架柱的轴向刚度，并将其向一级框架梁的轴线方向连续化，使之成为一级框架梁单元的弹性地基，把一级框架梁当作文克弹性地基梁，形成由巨型柱和巨型文克弹性地基梁构成的空间巨型框架，然后考虑了地基（半无限大弹性地基）的弹性变形，按空间刚架进行重力和水平力相互作用下的二阶效应计算.算例计算结果表明，新的简化模型是合理可行的.

超高层建筑；空间巨型框架；二阶效应分析；半无限大弹性地基

MSC 2010：70B10

空间巨型框架是超高层建筑结构采用的新的结构型式，其结构由2级框架构成，第1级为巨型框架，第2级是巨型框架内部的辅助框架（图1）.第1级框架的截面尺寸特别大，而第2级框架的截面尺寸相对则特别小，两者不是同一数量级.这种结构型式承载能力大，侧向刚度大，抗震性能好，并可以为建筑提供较大的使用空间，使建筑布置灵活，具有良好的技术经济指标［1-2］.近些年来，随着空间巨型框架在工程实践中应用的增多，对这种结构的理论研究也有所增多.但超高层建筑结构设计中通常用的都是一阶分析方法，忽略了水平荷载和竖向荷载共同作用时竖向荷载在侧向位移下所产生的附加弯矩的二阶效应.这种算法对结构来说是偏于不安全的.目前对空间巨型框架的高层建筑的整体二阶效应分析的文献很少.另一方面，在对巨型框架的研究中，大多把巨型框架直接作用在刚性地基上，没有考虑到地基和基础对结构的影响，这也与工程实际不符合.现在，超高层建筑巨型框架的二阶分析问题，特别是对软土地基上超高层建筑空间巨型框架的二阶效应分析还缺少简单实用的方法，已经引起人们的广泛重视.

为了寻求认识超高层建筑空间巨型框架特性的分析方法，文献［3］将空间巨型框架上部结构进行了简化，以此为基础，文献［4-6］建立了反映刚性地基上结构自由振动和重力二阶效应的计算分析模型，文献［6-9］在此基础上将基础结构进行简化，并把上部结构与其基础一起放置在半无限大弹性体的地基模型上，建立了空间巨型框架与其地基、基础共同工作的，具有三维特点的结构及其自由振动的简化计算分析模型.本文采用文献［6］和［9］对空间巨型框架结构的简化方法，建立具有三维特点的重力二阶效应分析模型，考虑了竖向荷载对水平荷载的影响后进行整体二阶分析.算例计算结果表明，这种模型是合理可行的.

图1 空间巨型框架实例Fig.1 Example of space mega frame

1 结构的简化计算模型建立

1）上部结构的简化.上部结构采用文献［3］提出的模型，即把空间巨型框架的一级框架梁按照巨型文克弹性地基梁处理，将巨型文克弹性地基梁和一级框架柱组成空间巨型框架，刚度按空间刚架进行分析.

2）基础结构的简化.基础结构实际上是上部结构向地下的延伸，但截面尺寸较后者大的多.基础结构中的一级框架梁简化为半无限大弹性地基梁，上部结构的一级框架梁则简化为巨型文克弹性地基梁，二者的弹性常数不相同［7］.

3）地基的简化.地基按半无限大弹性体处理，半无限大弹性地基的各种等效刚度，即对单位面积的地基产生各种变形所需要的应力，文献［10-11］推导出了解析公式.其中，

式（1），（2）分别为深度为D的单位面积的地基产生单位切向位移和单位法向位移所需的应力.

在确定了地基的等效刚度后，基础结构中一级框架柱与地基之间的约束力可以确定为

图2 二阶分析模型Fig.2 Model for second-order analysis

其中，KtdA／κ、KzdA为框架柱底端使地基产生单位切向位移和轴向位移所需的力；κ为切应变分布不均匀系数；A和Ix，Iy，Iz为基础中框架柱单元的截面面积和绕x，y，z轴的惯性矩；u，νx，νy和θx，θy，θz分别为基础结构中框架柱单元的底端沿x，y，z方向的线位移和角位移；KtdIx，KzdIy，KzdIz为框架柱底端使地基产生绕x，y，z轴的单位转角所需要的力矩.

在基础结构中，与地基接触的巨型框架梁按巨型半无限大弹性地基梁处理，其弹性常数为Kzd.

2 分析模型的建立

对结构进行上述简化后，得出对空间刚架进行二阶分析的简化模型，如图2所示.这种模型实际上是将文献［5-6］提出的计算模型的刚性地基变成了半无限大弹性地基，然后考虑了基础梁、基础柱与地基的相互作用后，进行在竖向荷载和水平荷载共同作用下的二阶分析计算.

由以上梁、柱单元在局部坐标下的单元刚度矩阵，利用单元集成法，可建立结构的整体刚度方程

求解式（4）可得整体坐标系下的结点的位移向量.求该单元的杆端力时，只需从中挑出所求单元的相关结点的位移向量，然后用式（5）求解.

图3 弹性地基梁单元（杆端力、杆端位移）Fig.3 Elasitically supported beam （end forces and displacements）

3 巨型半无限大弹性地基梁单元的刚度方程

在建立的分析模型中，上部结构的文克弹性地基梁单元和压杆柱单元的刚度方程和刚度矩阵文献［5-6］中已经确定.现在给出与地基接触的半无限大弹性地基梁单元（图3）的刚度方程和刚度矩阵.

式中，｛｝e为单元e的杆端力列阵，｝e为单元e的杆端位移列阵，］e为单元e的刚度矩阵.

4 算例与结果分析

4.1 算例

算例1计算模型如图4a所示，3层巨型框架，第1级框架的层高和跨度均为30m，梁、柱截面均为2m×2m.第2级框架梁、柱间距分别为3m和6m，截面均为0.5m×0.5m.钢筋混凝土弹性模量E＝3.25×107kN／m2，G＝0.45E.荷载如图4，竖向荷载用P表示每结点值，x方向水平荷载用Q表示每结点值，P＝17 250kN，Q＝414kN.半无限大弹性地基等效刚度分别为KzD＝（2.5×107）rdkPa／m，KtD＝ （1.8×107）rdkPa／m，rd为反映地基刚度变化的系数（变形前各层柱每柱的压力自上而下依次为P，2P，3P）.

算例2计算模型如图4b所示，6层巨型框架，第1、第2级框架梁和柱的各尺寸与算例1相同，荷载参数、材料模量及地基等效刚度也与算例1相同（变形前各层柱每柱的压力自上而下依次为P，2P，3P，4P，5P，6P.）

表1，表2，表3和表4为本文的简化方法计算结果，表5，表6中的近似值为用有限元法计算的只考虑第1级框架的计算结果，精确值为第1级和第2级框架全部考虑的计算结果［1］.

图4 算例计算模型图Fig.4 Computing model of example

表1 算例1侧向位移u（mm）及增大率随地基刚度的变化Tab.1 Variation of sideways u（mm）and accreted rate with the change of subgrade stiffness of example 1

表2 算例2侧向位移u（mm）及增大率随地基刚度的变化Tab.2 Variation of sideways u（mm）and accreted rate with the change of subgrade stiffness of example 2

表3 算例1右柱内力及增大率随地基刚度的变化Tab.3 Variation of internal forces of right column and their accreted rate with the change of subgrade stiffness of example 1

表4 算例2右柱内力及增大率随地基刚度的变化Tab.4 Variation of internal forces of right column and their accreted rate with the change of subgrade stiffness of example 2

表5 算例1计算侧向位移u（mm）及增大率的方法比较Tab.5 Sideways u（mm）and accreted rate in different methods of example 1

表6 算例2计算侧向位移u（mm）及增大率的方法比较Tab.6 Sideways u（mm）and accreted rate in different methods of example 2

4.2 计算结果分析

1）整体刚度方程式（4）中，［KG］为压杆柱单元的单元刚度矩阵，在忽略压力对刚度的影响时，刚度方程变为一阶分析的刚度方程

由之可求出一阶分析的位移和内力，计算结果各表中均已给出.

2）由表1和表2可以看出，侧向位移随地基刚度的升高而减小，刚性地基时变为最小.因此，在传统的设计计算中，不考虑地基刚度的变化，是偏于不安全的.对于高层建筑结构来说，考虑二阶效应是十分必要的，特别是当侧向刚度较小时，更应该考虑，在设计中忽略二阶效应的影响是偏于不安全的.

3）考虑上部结构与地基、基础共同工作时，二阶效应随地基刚度的降低而增大，因此传统上把地基简化为刚性是偏于不安全的.

4）表1，表2显示，考虑二阶效应后，结构的侧向位移增大明显，且结构越高，其影响也就越大.这是因为算例2中结构的高宽比为6，是算例1（高宽比为3）的2倍，侧向刚度较小，而侧向刚度越小，二阶效应的增大率越大.因此越是高耸的细高结构，二阶效应的影响就更需要考虑.由表3，表4可以看出，构件的内力也有不同程度的变化，其中弯矩的变化最大.本文算例中的荷载P，Q是按照《高层建筑混凝土结构技术规程》中，8度设防时水平地震力大于或等于0.024倍的结构重力的规定确定的，竖向荷载与水平荷载的比值越大，二阶效应的增大率越大；特别是竖向荷载接近结构的临界荷载时，增大率非常大，必须考虑二阶效应对结构的影响.

5）由表5和表6可知，本文算法考虑了地基和基础对结构的影响，其计算结果更接近于精确值，优于刚性地基的简化方法，更接近实际.另一方面，本文计算的单元数与近似法相同，仅为精确法的1／50，工作量大为减小.说明本文的简化分析方法是合理的，可用于对空间巨型框架与其地基、基础共同工作的二阶效应简化分析，可供初步设计或整体性能评价时参考使用.

［1］赵西安，徐培福.高层建筑结构的选型构造及简化计算［M］.北京：中国建筑工业出版社，1992.

［2］包世华.新编高层建筑结构［M］.北京：中国水利水电出版社，2001.

［3］包世华，龚耀清.超高层建筑巨型框架的简化分析［J］.工程力学，2002（增刊）：233-236.

［4］龚耀清，包世华.超高层建筑空间巨型框架自由振动计算的新方法［J］.工程力学，2008，25（10）：133-140.

［5］龚耀清，包世华.超高层建筑空间巨型框架的重力二阶效应分析［J］.建筑结构，2003，33（7）：39-41.

［6］包世华，龚耀清.超高层建筑空间巨型框架的水平力和重力二阶效应分析新方法［J］.计算力学学报，2010，27（1）：40-46.

［7］龚耀清，马伏龙.超高层建筑巨型框架与其基础地基共同工作的简化分析［J］.河南理工大学学报，2006，25（2）：145―150.

［8］龚耀清，甄静水.超高层建筑空间巨型框架与其基础地基共同工作的简化分析新方法［J］.工程力学，2008，25（2）：110-115.

［9］龚耀清，马伏龙.弹性地基上空间巨型框架结构的简化振动分析［J］.工程力学，2007，24（3）：8-12.

［10］龚耀清.弹性地基上高层建筑结构及半解析法研究［D］.北京：清华大学土木工程系，1999.

［11］龚耀清，张正维.半无限大弹性地基等效刚度公式及其应用［J］.工程力学，2007，24（5）：10-16.

［12］龙驭球.弹性地基梁的计算［M］.北京：人民教育出版社，1981.

Gravity Second-order Effect Analysis of Space Mega Frame on Elastic Subgrad

MA Fu-long1，GONG Yao-qing2
（1.School of Mechanical Engineering，Ningxia University，Yinchuan 750021，China；2.School of Civil Engineering，Henan Polytechnic University，Jiaozuo 454000，China）

A new simplified analysis model is developed for second-order analysis of the space mega frame structure of a super tall building built on soft soil.That is，axial rigidities of columns of subsidiary frames within a space mega frame are idealized continuously as Winkler elastic subgrade along the axes of the mega beams.A space mega frame supported on semi-infinite elastic body is then composed by the mega columns and the mega beams with the Winkler elastic subgrade.The stiffness matrix used by the secondorder analysis is then obtained by the space mega frame supported on semi-infinite elastic body.It is observed through the computing results that the computing model is rational and feasible.

super tall building；space mega frame；second-order analysis；semi-infinite elastic subgrade

TU 43；O 344

A

1000-1565（2011）06-0567-06

2011-08-23

宁夏自然科学基金资助项目（NZ0919）

马伏龙（1976-），男，宁夏同心人，宁夏大学讲师，主要从事计算力学与应用力学研究.

E-mail：fulongma＠sohu.com

王兰英）