一类新的模糊积分的性质

尤翠莲,王根森

(1.河北大学数学与计算机学院,河北保定 071002;2.河北冀铁集团公司经营开发部,河北石家庄 050051)

定理6 若a＜k＜b,Xt是[a,k]和[k,b]上刘可积的模糊过程,则 Xt在[a,b]上也是刘可积的,并且

研究报告

一类新的模糊积分的性质

尤翠莲1,王根森2

(1.河北大学数学与计算机学院,河北保定 071002;2.河北冀铁集团公司经营开发部,河北石家庄 050051)

在求解由刘过程驱动的模糊微分方程以及证明其存在唯一性时,若利用关于刘过程的模糊积分的定义直接计算或证明是非常困难的,因此必须研究此类模糊积分的性质.提出了3条模糊积分的存在性条件和3条模糊积分的性质,以便简化有关的计算和证明.

模糊变量;模糊过程;模糊积分

MSC 2010:34A07

1965年,Zadeh[1]引入模糊集的概念来描述具有不确定边界的集合,模糊集的隶属函数表明了某一元素属于该集合的程度.但如何衡量一个模糊事件呢?为了解决这个问题,Liu[2]在2002年引入了可信性测度的概念.之后Li[3]给出了可信性测度的充分必要条件.可信性理论是由Liu[4]创立并由Liu[5]修订的.

为了描述模糊动态系统的演变过程,Liu[6]引入了模糊过程的概念.模糊过程中一个重要的和非常有用的过程就是刘过程,它的地位就像随机过程中的布朗运动.基于刘过程,Liu[6]提出了刘积分和刘公式,它们正是布朗运动、伊藤积分和伊藤公式的对应物.很多学者对刘过程进行了研究,比如 You[7]将刘过程、刘积分和刘公式推广到多维的情形,Qin[8]对复刘过程进行了研究,Dai[9]得出刘过程是李普希兹连续的并具有有限变差.

很多具有模糊性的实际问题都可以抽象出一个模糊微分方程,要研究这类模糊微分方程,就要计算相应的模糊积分.因此,本文主要讨论了基于刘过程的模糊积分的一些基本性质,以便简化相关的计算和证明.

1 预备知识

可信性测度是一个具有规范性、单调性、自对偶性和极大性的集值函数.模糊变量是一个从可信性空间到实数集的函数.

一个模糊变量ξ的期望值定义如下:

其中2个积分至少有1个是有限的.模糊变量ξ的方差定义为V[ξ]=E[(ξ-E[ξ])2].

模糊变量ξ是连续的,如果Cr{ξ=x}是一个x的连续函数.

模糊过程Xt(θ)定义为一个从T×(Θ,7,Cr)到实数集的函数,记为Xt,即对每一个t＊,Xt＊(θ)是一个模糊变量,其中t＊表示时间,θ是可信性空间(Θ,7,Cr)中的点.对于任何给定的θ＊∈Θ,Xt(θ＊)是t的函数,称这样一个函数为Xt(θ)的一条样本路径.

若对几乎所有的θ∈Θ,Xt的所有样本路径都是t的连续函数,称模糊过程Xt是连续的.

定义1[6]如果模糊过程Ct具有以下性质:

1)C0=0;

2)Ct具有稳态增和独立增性质;

3)每一增量Ct+s-Cs是一个具有期望值et和方差σ2t2的正态分布的模糊变量,其隶属函数为

称这样的模糊过程为刘过程.

如果e=0且σ=1,称这样的刘过程为标准刘过程.

定理1[9]对任意给定的θ使得Cr{θ}＞0,Ct(θ)的样本路径是李普希兹连续的,其中Ct是刘过程.

定义2(刘积分)[6]假设Xt是一个模糊过程,Ct是一个标准Liu过程,在[a,b]中任意插入若干个分点(本文插入k个),且

当 △→0时,若和式的极限几乎处处存在并且是一个模糊变量,称此极限值为模糊过程Xt关于Ct的刘积分,记为

此时称模糊过程Xt刘可积.

2 刘积分的性质

证明:由于|Xt|关于t可积,故|Xt|有界.对[a,b]的任意分划,记 △=max1≤i≤k|ti+1-ti|.令M i和mi分别表示|Xt|在区间[ti,ti+1]上的上、下确界.由于|Xt|关于t可积,可知考虑到Ct的李普希兹连续性,必然存在某个常数L,使得|△Cti|≤L|△ti|.因此

存在.根据定理2可得证明.

证明:由于模糊过程Xt可积,故|Xt|也可积.根据定理4可得结论.

由于刘积分的形式与伊藤积分类似,这2种积分也具有相似的性质.下面讨论一下刘积分的简单性质.

定理5 若Xt和Yt是[a,b]上刘可积的模糊过程,k1,k2是2个常数,则

定理6若a＜k＜b,Xt是[a,k]和[k,b]上刘可积的模糊过程,则Xt在[a,b]上也是刘可积的,并且

3 结论

研究模糊微分方程最重要的就是要得到解的存在唯一性定理,为此必然要利用这类新的模糊微分的性质求解和证明,本文给出了3个此类模糊积分的存在性条件,得出了3条此类模糊积分的性质,为今后涉及此类模糊积分的计算和应用奠定了理论基础.

[1]ZADEH L A.Fuzzy sets[J].Info rmation and Control,1965,8：338-353.

[2]L IU Baoding,L IU Yankui.Expected value of fuzzy variable and fuzzy expected value models[J].IEEE Transactions on Fuzzy System s,2002,10：445-450.

[3]L IXiang,L IU Baoding.A sufficent and necessary condition fo r credibility measures[J].International Journal of Uncertainty,Fuzziness&Know ledge-Based System s,2006,14：527-535.

[4]L IU Baoding.Uncertainty theo ry[M].Berlin：Sp ringer-Verlag,2004.

[5]L IU Baoding.Uncertainty theo ry[M].2nd ed.Berlin：Sp ringer-Verlag,2007.

[6]L IU Baoding.Fuzzy p rocess,hybrid p rocess and uncertain p rocess[J].Journal of Uncertain Systems,2008,2：3-16.

[7]YOU Cuilian.M ulti-dimensional Liu p rocess,differential and integral[Z].庐山 ：Global-link Publisher,2007.

[8]Q IN Zhongfeng.On analytic functions of comp lex Liu p rocess[EB/OL].(2007-10-26)[2008-09-02].http：//orsc.edu.cn/p rocess/071026.pdf.

[9]DA IWei.Reflection p rincip le of Liu p rocess[EB/OL].(2007-11-10)[2008-09-02].http：//orsc.edu.cn/p rocess/071110.pdf.

Properties of a New Kind of Fuzzy Integral

YOU Cui-lian1,WANG Gen-sen2
(1.College of M athematics and Computer Science,Hebei University,Baoding 071002,China;2.Sales and Development Department,Hebei Jitie Group Company,Shijiazhuang 050051,China)

A s solve fuzzy differential equations drived by Liu p rocess and p rove its existence and uniqueness theo rem,it seem s very difficult to calculate o r p rove only by using the definition of fuzzy integral w ith respect to Liu p rocess,thus it is necessary to study the p ropertiesof this type of fuzzy integral,in order to simp lify the calculations and p rove involved fuzzy integral,this paper introduces three conditions for the existence of fuzzy integral and three p roperties of this type of fuzzy integral.

fuzzy variable;fuzzy p rocess;fuzzy integral

O 159

A

1000-1565(2011)04-0337-04

2010-01-12

国家自然科学基金资助项目(60974134);河北省自然科学基金资助项目(A 2011201007);河北大学博士基金资助项目(Y2009158)

尤翠莲(1977-),女,河北唐山人,河北大学副教授,博士,主要从事不确定理论与模糊微分方程的研究.

E-mail：yycclian@163.com

王兰英)