双障碍问题的弱解的高阶可积性

胡振华，周树清，彭冬云

（1.湖南城市学院数学与计算机学院，中国益阳 413000;2.湖南师范大学数学与计算机科学学院，中国长沙 410081）

双障碍问题的弱解的高阶可积性

胡振华1，2，周树清2*，彭冬云2

（1.湖南城市学院数学与计算机学院，中国益阳 413000;2.湖南师范大学数学与计算机科学学院，中国长沙 410081）

通过构造特殊的检验函数，并利用逆Hölder不等式，得到了由二阶拟线性椭圆型偏微分方程div（A （x，▽u））=div f（x）所描述的系统的双障碍问题的弱解的局部和全局高阶可积性.双障碍问题的研究在控制论、优化控制、金融问题等方面有着广泛的应用.

双障碍问题;局部高阶可积性;全局高阶可积性;优化控制;逆Hölder不等式

设区域Ω⊂Rn有界，是通常的Sobolev空间．设θ（x）∈e.}．称φ（x），ψ（x）为障碍，θ为边界值．

考虑区域Ω上的二阶拟线性椭圆型偏微分方程

定义称函数-双障碍问题（1）的弱解，是指

障碍问题出现在非线性位势理论、变分极值以及变分不等式理论中［1-2］．它广泛地应用于材料的相变理论、燃烧理论、优化控制理论以及金融问题中［3-4］．在f（x）=0，A满足齐次性条件下，文献［5］得到了（A）-双障碍问题（1）的弱解的高阶可积性与稳定性结果．本文讨论（A）-双障碍问题（1）的弱解的局部和全局高阶可积性．对单个障碍的情形，文［6］得到了单障碍问题的弱解的高阶可积性．

1 主要结果

设Ω⊂Rn是一个有界区域，n

n－1＜p＜+∞且s＞p．假设映射A:Rn×R→Rn是Caratheodory函数且满足下列条件:

（A1）存在0＜α＜β＜∞，对所有h∈Rn以及a.e.x∈Ω，A（x，h）h≥α|h|p，|A（x，h）|≤β|h|p－1;

（A2）对a.e.x∈Ω和h1≠h2，（A（x，h1）－A（x，h2））（h1－h2）＞0．

先给出一些记号．给定x0∈Ω，设Qr是一个中心在x0边长为r的方体，Qλr（λ＞0）是与Qr中心相同，边平行且边长为λr的方体．记f（x）在Qr中的平均值为

2 主要结果的证明

首先，给出一个定理，其证明请参见Giaquinta和Modica［9］．在上述计算中，多次使用了Hölder不等式、Young不等式．若取，则由（22）式可得

为估计（23）式中的最后一项，我们利用边界∂Ω是p-Poincaré厚的条件．事实上，函数u－θ能连续零延拓到CΩ，因而

利用Minikowski不等式和Hölder不等式可得

因此由式（23）、（24）和（25）可得

其中C=C（diamΩ，n，p）．

因为θ∈Ls（Ω），由式（30）可得u∈Lδ（Ω）．记q=min{t，δ}＞p，若p＜n，则u∈W1，q（Ω）．如果p≥n，则上述推理过程对任何p*＜∞都成立，再利用Minkowski不等式和Hölder不等式可得u∈Ls（Ω），因而u∈W1，q（Ω）．只要取∈0=q－p，即知定理成立．

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Higer Integrability for Weak Solutions to a Class of Double Obstacle Problems

HU Zhen-hua1，2，ZHOU Shu-qing2*，PENG Dong-yun2
（1.College of Mathematics and Computer Science，Hunan City University，Yiyang 413000，China; 2.College of Mathematics and Computer Science，Hunan Normal University，Changsha 410081，China）

By constructing special test functions and using inverse Hölder′s inequality，local and global higher integrability results to the weak solutions to a class of double problems described by quasilinear elliptic partial differential equations div（A（x，▽u））=div f（x），are obtained.The research of double obstacle can widely be used in control problems，optimal control problems and financial problems.

double obstacle;local higher integrability;global higher integrability;optimal control;inverse Hölder′s inequality

O175.25

A

1000－2537（2011）05－0007－05

2011－03－13

国家自然科学基金资助项目（10971061）;湖南省自然科学基金（11JJ6005）和湖南师范大学优秀青年培养计划资助项目（080640）

*通讯作者，E－mail:zhoushuqing87@163.com

（编辑沈小玲）