对杯中球问题的探究与推广

●(华中师范大学数学与统计学学院 湖北武汉 430079)

对杯中球问题的探究与推广

●李俊杰(华中师范大学数学与统计学学院 湖北武汉 430079)

图1

在抛物线形高脚杯中放进球形物体，当球的半径不同时，球可以碰到杯底，也可以卡在杯口上，这就是杯中球问题[1]，其数学模型如图1所示.

杯中球问题实质上是一个最短距离问题：在抛物线内部，求抛物线对称轴上的点到抛物线的最短距离.

性质1[1]设抛物线方程为y2=2px(p>0)，点M(m,0)(m>0).

(1)当0

文献[1]以开口向上的抛物线为例进行了证明，笔者不再赘述.

推论1[1]设抛物线方程为y2=2px(p>0)，点M(m,0)(m>0)，在抛物线内作以点M为圆心的内切圆.

(1)当0

(2)当m>p时，圆与抛物线有2个切点，如图3所示.

图2

图3

受杯中球问题的启发，笔者也对椭圆和双曲线进行了类似的探究，横向拓展得出了以下结论.

(1)当m∈(-a,-ce]∪[ce,a)时，点M到椭圆的最短距离为a-|m|；

证明设P(x,y)为椭圆上任意一点，则

|MP|2=(x-m)2+y2=

e2x2-2mx+m2+b2=

故当m∈(-a,-ce]∪[ce,a)时，|MP|min=a-|m|.

(1)当m∈(-a,-ce]∪[ce,a)时，圆与椭圆有唯一切点，且切点为椭圆长轴的端点，如图4所示;

(2)当m∈(-ce,ce)时，圆与椭圆有2个切点，如图5所示.

图4

图5

(1)当m∈[-ce,-a)∪(a,ce]时，点M到双曲线的最短距离为|m|-a;

证明设P(x,y)为双曲线上任意一点，则

m∈[-ce,-a)∪(a,ce].

当m∈(a,ce]时，f(x)在x=a处取得最小值，此时

|MP|min=|a-m|=m-a；

当m∈[-ce,-a)时，f(x)在x=-a处取得最小值，此时

|MP|min=|-a-m|=-m-a，

故当m∈[-ce,-a)∪(a,ce]时，

|MP|min=|m|-a.

m∈(-∞,-ce)∪(ce,+∞).

(1)当m∈[-ce,-a)∪(a,ce]时，圆与双曲线有唯一切点，且切点为双曲线的顶点，如图6所示;

(2)当m∈(-∞,-ce)∪(ce,+∞)时，圆与双曲线有2个切点，如图7所示.

图6

图7

经常讨论焦点到圆锥曲线的最短距离问题，文献[1]中已得出相关结论：圆锥曲线上到焦点距离最近的点为其对应顶点，即以焦点为圆心，与之较近顶点连线为半径的圆必内切于该圆锥曲线，顶点为切点.实际上，文献[2]是本文的一个特例，本文是文献[2]更一般的结论.

[1] 蒋声，陈瑞琛.趣味解析几何[M].上海：上海教育出版社，2007：283-285.

[2] 任志瑜.更应该站在学生的角度来处理教材[J].数学通讯，2010(9)：31-34.