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群的阶与元素的阶

2011-11-29张姗姗

新课程学习·中 2011年8期
关键词:元素同态同构

张姗姗

摘要:讨论群的阶、元素的阶及两者之间的关系,给出一些有意义的结果。

关键词:群的阶;元素的阶;同态;同构;元素

基金项目:宝鸡文理学院科研计划项目(ZK0788)

群是一种特殊的代数系统,它在数学本身以及现代科学技术的很多方面都有广泛的应用。而群的阶和元素的阶是群的重要特征之一,本文着重介绍群的阶与元素的阶的有关概念及相关结果。

一、群的阶

定义:一个群叫做有限群,假如这个群的元的个数是一个有限的正整数。不然的话,这个群叫做无限群。一个有限群的元的个数叫做这个群的阶,记为G。

结论1. (1)群的阶为1?圳G=e。

(2)群的阶为2?圳G=e,a且a≠e。

(3)群的阶为3?圳G=e,a,a2且a≠e,a≠a2。

结论2. 4阶群G必为交换群,而且就同构意义而言,有且仅有两种类型。

(1)G=〈a〉,a的阶是4。

(2)G=e,a,b,c,ea=a,eb=b,ec=c,ab=c,ac=b,bc=a。

结论3. 6阶群有且仅有两种类型。

(1)G是交换群,G=〈a〉,a的阶为6。

(2)G是非交换群,G=e,a,a2,c,ca,ca2=〈a,c〉,且a3=c2=(ac)2=e。从而G的乘法表与三次对称群S3相同。

结论4. 阶是素数的群一定是循环群。

定理1. 若群G≠e,G的阶是某一素数?圳G除自身与e外没有其他子群。

结论5. 阶是pm的群(p是素数)一定包含一个阶是p的子群。

定理2.G和G是两个有限循环群,他们的阶各是m和n,则G∽G?圳n|m。

定理3.假定H是有限群G的一个子群。那么的H阶n和它在G里的指数j都能整除G的阶N,并且N=nj。

二、元素的阶

定义:设a是群G的元素,若存在使am=e的最小正整数m,则称a的阶为m,记为°(a)=m;若这样的m不存在,即对于任意正整数n,均有an≠e,则称的a阶为无限。

以下分四种情况讨论元素的阶:

1.元素阶为有限

结论1. (1)群的元素a的阶为1?圳a=e。

(2)群的元素a的阶为2?圳a=a-1且a≠e。

(3)群的元素a的阶为>2?圳a≠a-1。

结论2. 若a是群G的m阶元素,则ai=e?圳i=0(modm);ai=ai?圳i=j(modm)。

结论3. 群的元素a的阶为有限

?圳存在i≠j,使ai=aj。

?圳〈a〉为有限集合。

?圳存在正整数n,使an=e。

结论4. 若群G的元素a的阶为m,则〈a〉=a0,a1,a2,…,am-1ai,ai+1,…,ai+(m-1)。

定理1. 若a的阶是m,则at的阶是m?圳(t,m)=1。

推论1. (1)若a的阶是m,则at的阶是s。

(2)若a的阶是st,s>0,则at的阶是s。

(3)若群G中有m阶元素,则G中至少有Φ(m)个m阶元素。

(4)若群G中有m阶元素,则对于m的任意正约数s,群G中有s阶元素。

推论2. 若群G中有异于单位元的有限阶元素,则大于1的最低阶数必定是素数。

定理2. 若G与G是群,Gσ~G,a∈G,a的阶是m,则σ(a)的阶有限且为m的约数.

2.元素的阶为无限

结论1. 群的元素a的阶为无限

?圳对任意i≠j,均有ai≠aj。

?圳〈a〉为无限集合。

?圳对任意的正整数n,均有an≠e。

结论2. 若a是群的无限阶元素,则对于任意的非零整数i,ai也是无限阶元素。

结论3. 设G与G是群,Gσ~G,a∈G,a的阶是m,则σ(a)的阶有限且为m的约数。

3.元素乘积的阶

若群G的元素a与b不可交换,则乘积ab的阶会出现各种不同的情况,为得出有用的结论,以下讨论元素可交换的情形。

结论1. (1)若a,b为有限阶元素,ab=ba,则ab为有限阶元素。

(2)若群G的元素a的阶有限,元素b的阶无限,ab=ba,则ab是无限阶元素.

定理.若群的元素a的阶是s,元素b的阶是t,ab=ba,(s,t)=1,则元素ab的阶是st。

推论1. 若群G的元素a的阶是s,b的阶是t,ab=ba,则

(1)元素ab的阶是s,t的约数。

(2)群G中存在阶是s,t的元素。

推论2. (1)若群G的元素a的阶是s,b的阶是t,ts,ab=ba,则群G中有阶比s大的元素。

(2)若群G是交换群,G中元素的最大阶数是n,则G中任一元素的阶均为n的约数。

结论2. 若a1,a2,…,ak是群G的可换子集,元素ai的阶为mi,i=1,2,…,k,则乘积a1,a2,…ak的阶是m1,m2,…,mk的约数。

4.其他情形

结论1. 设G与G是群,GG,a∈G,则a与σ(a)有相同的阶。

结论2. 设a是群G的任意元素,则a与a-1有相同的阶。

结论3. 设a、b是群G的任意元素,则ab与ba有相同的阶。

结论4. 群中相互共轭的元素有相同的阶。

三、群的阶与元素的阶的关系

结论1. 有限群的任一元素的阶均为有限。

定理1. 一个有限群G的任一元素a的阶都整除G的阶。

结论2. 若群G的阶为s,G的阶大于2的元素的个数为t,G的阶等于2的元素的个数为u(t,u可以为0),则

(1)t必须为偶数。

(2)u与s的奇偶性相反,特别地,偶数阶的群必有2阶元素。

引理:如果群G的阶能被素数p整除,则G包含着p阶元素。

定理2. 设G是有限群,G的每个元皆为p-元素的充要条件是G的阶是p的方幂。

证明:若G的每个元素皆为p-元素,假如G的阶n不是p的方幂,即存在整数q,使得q整除n,(p,q)=1,则G有q元子群,但其中任意元素的阶数是的p方幂,即G=pm,引出矛盾.所以G的阶是p的方幂。反过来,假如G的阶是p的方幂,即G=pm,由定理3.1知G中任意元素的阶数是p的方幂。

参考文献:

张禾瑞.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社,1978.

(作者单位 陕西宝鸡文理学院数学系)

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