群的阶与元素的阶

张姗姗

摘要：讨论群的阶、元素的阶及两者之间的关系，给出一些有意义的结果。

关键词：群的阶；元素的阶；同态；同构；元素

基金项目：宝鸡文理学院科研计划项目（ZK0788）

群是一种特殊的代数系统，它在数学本身以及现代科学技术的很多方面都有广泛的应用。而群的阶和元素的阶是群的重要特征之一，本文着重介绍群的阶与元素的阶的有关概念及相关结果。

一、群的阶

定义：一个群叫做有限群,假如这个群的元的个数是一个有限的正整数。不然的话，这个群叫做无限群。一个有限群的元的个数叫做这个群的阶，记为G。

结论1. （1）群的阶为1?圳G=e。

（2）群的阶为2?圳G=e，a且a≠e。

（3）群的阶为3?圳G=e，a，a2且a≠e，a≠a2。

结论2. 4阶群G必为交换群，而且就同构意义而言，有且仅有两种类型。

（1）G=〈a〉，a的阶是4。

（2）G=e，a，b，c，ea=a，eb=b，ec=c，ab=c，ac=b，bc=a。

结论3. 6阶群有且仅有两种类型。

（1）G是交换群，G=〈a〉，a的阶为6。

（2）G是非交换群，G=e，a，a2，c，ca，ca2=〈a，c〉，且a3=c2=（ac）2=e。从而G的乘法表与三次对称群S3相同。

结论4. 阶是素数的群一定是循环群。

定理1. 若群G≠e，G的阶是某一素数?圳G除自身与e外没有其他子群。

结论5. 阶是pm的群（p是素数）一定包含一个阶是p的子群。

定理2.G和G是两个有限循环群，他们的阶各是m和n，则G∽G?圳n｜m。

定理3.假定H是有限群G的一个子群。那么的H阶n和它在G里的指数j都能整除G的阶N，并且N=nj。

二、元素的阶

定义：设a是群G的元素，若存在使am=e的最小正整数m，则称a的阶为m，记为°（a）=m；若这样的m不存在，即对于任意正整数n，均有an≠e，则称的a阶为无限。

以下分四种情况讨论元素的阶：

1.元素阶为有限

结论1. （1）群的元素a的阶为1?圳a=e。

（2）群的元素a的阶为2?圳a=a-1且a≠e。

（3）群的元素a的阶为>2?圳a≠a-1。

结论2. 若a是群G的m阶元素，则ai=e?圳i=0（modm）；ai=ai?圳i=j（modm）。

结论3. 群的元素a的阶为有限

?圳存在i≠j，使ai=aj。

?圳〈a〉为有限集合。

?圳存在正整数n，使an=e。

结论4. 若群G的元素a的阶为m，则〈a〉=a0，a1，a2，…，am-1ai，ai+1，…，ai+（m-1）。

定理1. 若a的阶是m，则at的阶是m?圳（t，m）=1。

推论1. （1）若a的阶是m，则at的阶是s。

（2）若a的阶是st，s>0，则at的阶是s。

（3）若群G中有m阶元素，则G中至少有Φ（m）个m阶元素。

（4）若群G中有m阶元素，则对于m的任意正约数s，群G中有s阶元素。

推论2. 若群G中有异于单位元的有限阶元素，则大于1的最低阶数必定是素数。

定理2. 若G与G是群，Gσ~G，a∈G，a的阶是m，则σ（a）的阶有限且为m的约数.

2.元素的阶为无限

结论1. 群的元素a的阶为无限

?圳对任意i≠j，均有ai≠aj。

?圳〈a〉为无限集合。

?圳对任意的正整数n，均有an≠e。

结论2. 若a是群的无限阶元素，则对于任意的非零整数i，ai也是无限阶元素。

结论3. 设G与G是群，Gσ~G，a∈G，a的阶是m，则σ（a）的阶有限且为m的约数。

3.元素乘积的阶

若群G的元素a与b不可交换，则乘积ab的阶会出现各种不同的情况，为得出有用的结论，以下讨论元素可交换的情形。

结论1. （1）若a，b为有限阶元素，ab=ba，则ab为有限阶元素。

（2）若群G的元素a的阶有限，元素b的阶无限，ab=ba，则ab是无限阶元素.

定理.若群的元素a的阶是s，元素b的阶是t，ab=ba，（s，t）=1，则元素ab的阶是st。

推论1. 若群G的元素a的阶是s，b的阶是t，ab=ba，则

（1）元素ab的阶是s，t的约数。

（2）群G中存在阶是s，t的元素。

推论2. （1）若群G的元素a的阶是s，b的阶是t，ts，ab=ba，则群G中有阶比s大的元素。

（2）若群G是交换群，G中元素的最大阶数是n，则G中任一元素的阶均为n的约数。

结论2. 若a1，a2，…，ak是群G的可换子集，元素ai的阶为mi，i=1，2，…，k，则乘积a1，a2，…ak的阶是m1，m2，…，mk的约数。

4.其他情形

结论1. 设G与G是群，GG，a∈G，则a与σ（a）有相同的阶。

结论2. 设a是群G的任意元素，则a与a-1有相同的阶。

结论3. 设a、b是群G的任意元素，则ab与ba有相同的阶。

结论4. 群中相互共轭的元素有相同的阶。

三、群的阶与元素的阶的关系

结论1. 有限群的任一元素的阶均为有限。

定理1. 一个有限群G的任一元素a的阶都整除G的阶。

结论2. 若群G的阶为s，G的阶大于2的元素的个数为t，G的阶等于2的元素的个数为u（t，u可以为0），则

（1）t必须为偶数。

（2）u与s的奇偶性相反，特别地，偶数阶的群必有2阶元素。

引理：如果群G的阶能被素数p整除，则G包含着p阶元素。

定理2. 设G是有限群，G的每个元皆为p-元素的充要条件是G的阶是p的方幂。

证明：若G的每个元素皆为p-元素，假如G的阶n不是p的方幂，即存在整数q，使得q整除n，（p，q）=1，则G有q元子群，但其中任意元素的阶数是的p方幂，即G=pm，引出矛盾.所以G的阶是p的方幂。反过来，假如G的阶是p的方幂，即G=pm，由定理3.1知G中任意元素的阶数是p的方幂。

参考文献：

张禾瑞.近世代数基础［M］.北京：高等教育出版社，1978.

（作者单位 陕西宝鸡文理学院数学系）