随机事件的独立性浅析

姚道洪，杨德志 (青岛理工大学(临沂)基础课教学部，山东 临沂 273400)

随机事件的独立性浅析

姚道洪，杨德志 (青岛理工大学(临沂)基础课教学部，山东 临沂 273400)

随机事件的独立性是概率论中特别重要的概念。从随机事件独立性的概念入手，多角度结合实例展开分析，阐述了随机事件独立性与互斥的关系，并结合条件概率与几何概率对随机事件独立性的意义进行了探讨。

随机事件；独立性；互斥；条件概率；几何概率

1 随机事件独立性的定义

随机事件的独立性是概率论中特有的也是非常重要的一个概念。

定义1[1]2个随机事件A与B，如果其中任何一个事件发生的概率不受另外一个事件发生与否的影响，则称事件A与B是相互独立的。

结合条件概率常常见到“事件B发生的概率不受事件A发生的影响”的对独立性的解释[2]，有时为了讲的更清楚，也结合实例展开说明，如文献[3]中讲“显然甲币是否出现正面与乙币是否出现正面是互不影响的”。其实“影响”2字文学色彩更浓一些，单是从此2字上是很难弄明白独立性概念。定义1的缺点正如前面所说，有局恨性，不易理解，在此不加讨论。

定义2[2]设A，B是2随机事件，如果满足等式：

P(AB)=P(A)P(B)

则称事件A，B相互独立，简称A，B独立。

定义3[2]设A，B，C是3个随机事件，如果满足等式：

则称事件A，B，C相互独立。

对于以上定义，需注意以下几点：

1)随机事件的独立性是指的事件概率的一种运算关系。从定义2中可以理解到，P(A)>0,P(B)>0时需满足P(AB)=P(A)P(B)则称A，B2事件相互独立，在P(A)=0或P(B)=0时满足P(AB)=P(A)P(B) 也指A，B2事件相互独立，即不可能事件与其他任何事件都相互独立。

2)要注意区分相互独立与两两独立。若是2个事件两两独立，实际上就是指相互独立，但多于2个事件时则不同，以3事件为例，两两独立只是指满足P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C)，没有了条件P(ABC)=P(A)P(B)P(C)也就不能叫相互独立了。

P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) (i,j=1,2,…,n,且i≠j)

3)有一种理解是错误的：如果事件A与B是相互独立的，则事件B发生(注：这里强调的是事件B发生，非事件B发生的概率)不受事件A发生与否的影响。

2 事件独立性与互斥的关系

就独立性与互斥而言，常常会被错误理解，认为二者都是一个发生与否与另一个不相干，2事件没有关系也不能同时发生。互斥是指2随机事件满足A∩B=Φ。若A与B相互独立且P(A)>0,P(B)>0，则P(AB)=P(A)P(B)>0，肯定不会有A∩B=Φ，即不但不能说明A∩B=Φ，恰恰能说明A∩B=Φ。当然了，如果A与B至少有一个是不可能事件，相互独立仍然能够说明互斥。

例4有2道单选题，记A1={第1道题答对}，A2={第2道题答对}，2事件是独立事件，在2道题都不会的情况下乱猜答案，问只答对1道题的概率。

3 结合条件概率与几何概率看独立性

图1 2事件独立时反映的比例关系

如图1:

依条件概率知道，一般地，若计算A1，A2，…，An这n个事件同时发生的概率，需这样计算：P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)，所以计算起来相当繁琐，每一个条件概率背后的实际意义可能会相当复杂，带来的计算量也会非常大。如若能确保A1,A2,…,An这n个事件是相互独立的，则只需利用P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)来计算，大大减小了计算量，这也是为什么在很多时候做科学实验时，要力求做到条件相同如同气候、同温度、同湿度、同高度等情况下重复试验，以此来确保各事件的独立性。

[1]龚德恩.经济数学基础(第3分册)：概率统计[M].成都：四川人民出版社，2004.

[2] 郑一，王玉敏，冯宝成.概率论与数理统计[M].北京：中国科学技术出版社，2007：33.

[3] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2009：20-21.

[4]张福利.随机事件独立性的教学探讨[J].产业与科技论坛，2010，9(8)：212-213.

[编辑] 洪云飞

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.10.047

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A

1673-1409(2011)10-0140-03