一类新的压缩条件下四个自映象的公共不动点定理

张 丹，谷 峰

(杭州师范大学理学院,浙江 杭州 310036)

一类新的压缩条件下四个自映象的公共不动点定理

张 丹，谷 峰*

(杭州师范大学理学院,浙江 杭州 310036)

利用度量空间中自映象对相容和次相容的条件，讨论了完备度量空间中一类Φ-压缩条件下4个映象的公共不动点的存在性与唯一性，得到一个新的公共不动点定理，扩展了原有的结果.

相容映象对;次相容映象对;Φ-压缩映象;公共不动点

1 引言和预备知识

张石生[1]和谷峰[2]在度量空间中自映象对相容和次相容的条件下，分别研究了涉及到3个和4个自映象的Φ-扩张型的公共不动点定理.傅秋平[3]讨论了完备度量空间中涉及到4个映象的一类Φ-压缩映象的公共不动点问题.在此利用映象对相容[4]和次相容[5]的条件，讨论了完备度量空间中4个映象的一类新的Φ-压缩映象的公共不动点问题，获得了一个新的公共不动点定理,所得结果本质地改进了文献[3]中的主要结果.

定义1集合X上的自映象对(f,g)称为是可交换的，如果∀x∈X，有fgx=gfx.

定义2[4]度量空间(X,d)上的自映象对(f,g)称为相容的，如果∀{xn}⊂X，当fxn→x，gxn→x，x∈X时，有d(fgxn,gfxn)→0(n→∞).

定义3[5]集合X上的自映象对(f,g)称为是次相容的，如果

{t∈X:f(t)=g(t)}⊂{t∈X:fg(t)=gf(t)}.

注1由定义易知，可交换映象对必是相容映象对，而相容映象对也必是次相容映象对,但反之不真.

定义4称函数Φ满足条件(Φ)，如果函数Φ满足以下条件：

(Φ):Φ:[0,∞)→[0,∞)是对t不减的和右连续的，且Φ(t)0.

(i)mi>ni+1，ni→∞(i→∞)；(ii)d(ymi,yni)≥ε0；d(ymi-1,yni)<ε0,i=1,2,….

2 主要结果

定理1设S,T,A,B,是完备度量空间X上的4个自映象，且满足以下条件:

(i)S(X)⊂B(X),T(X)⊂A(X);(ii) 对于一切使得M(x,y)>0的x,y∈X,有不等式成立:

d(Sx,Ty)≤Φ(M(x,y))，

如果以下条件之一被满足，则S,T,A,B在X中有唯一公共不动点:1)S,A之一连续，且(S,A)相容,(T,B)次相容；2)T,B之一连续，且(T,B)相容，(S,A)次相容；3)A,B之一为满射，且(S,A)和(T,B)都次相容.

证明任取x0∈X,因S(X)⊂B(X),T(X)⊂A(X),故存在X中的序列{xn},{yn},使得

y2n=Sx2n=Bx2n+1,y2n+1=Tx2n+1=Ax2n+2,n=0,1,2,3,….

(1)

事实上，由条件(ii)可知，当n为偶数，不妨设为2n，则

(2)

类似地可证d(y2n-1,y2n)≤Φ(d(y2n-2,y2n-1))，因此，对∀n∈N，有d(yn,yn+1)≤Φ(d(yn-1,yn)).

下面证明{yn}是X中的Cauchy列.若不然，由引理2知，必存在某一ε0>0和正整数列{mi}，{ni}，使得

a)mi>ni+1ni→∞(i→∞);b)d(ymi,yni)≥ε0；d(ymi-1,yni)<ε0,i=1,2,….

令ei=d(ymi,yni)，则有ε0≤ei≤d(ymi,ymi-1)+d(ymi-1,yni)<ε0+d(ymi-1,ymi).

(3)

另一方面，因为

ei=d(ymi,yni)≤d(ymi,ymi+1)+d(ymi+1,yni+1)+d(yni+1,yni),

(4)

对上式右端第2项分4种情形进行讨论：

10当mi为偶，ni为奇的情形.此时由条件(ii)有

d(ymi+1,yni+1)=d(Txmi+1,Sxni+1)=d(Sxni+1,Txmi+1)≤

Φ(d(yni,ymi))=Φ(ei).

(5)

(6)

利用式(1)和(6)，在式(4)中令i→∞取极限得ε0≤0+Φ(ε0)+0=Φ(ε0)，从而由引理1(i)知ε0=0，此与ε0>0矛盾.

20当mi为偶，ni为偶的情形.此时由条件(ii)有

d(ymi+1,yni+1)=d(Txmi+1,Txni+1)≤d(Sxni,Txmi+1)+d(Sxni,Txni+1),

(7)

(8)

引用式(1)(3)，并注意到Φ(t)的右连续性假设，于式(8)中令i→∞取极限得

(9)

(10)

利用式(9)(10)，于式(7)中令i→∞取极限得

(11)

利用式(1)和(11)，于式(4)中令i→∞取极限得ε0≤0+Φ(ε0)+0=Φ(ε0)，从而由引理1(i)知ε0=0，此与ε0>0矛盾.

同理可证mi，ni同为奇；mi为奇，ni为偶的情形也引出同样的矛盾.这些矛盾说明{yn}是X中的Cauchy列.因X完备，设yn→y*∈X，则{y2n-1}和{y2n}也都收敛于y*，即

Tx2n-1=Ax2n=y2n-1→y*,Bx2n+1=Sx2n=y2n→y*(n→∞).

(12)

1) 设S,A之一连续，且(S,A)相容,(T,B)次相容.

如果A连续，则{A2x2n}和{ASx2n}都收敛于Ay*，又由式(12)以及(S,A)相容得d(SAx2n,ASx2n)→0(n→∞)，从而SAx2n→Ay*(n→∞).下面分以下4步证明y*是S,T,A,B的公共不动点.

第1步，证明Ay*=y*.事实上，由条件(ii)有

于上式中令n→∞得

由引理1(i)得d(Ay*,y*)=0，进而可得Ay*=y*.

第2步，证明Sy*=y*.利用条件(ii)可得

于上式中令n→∞，并注意到Ay*=y*可得

再由引理1(i)知d(Sy*,y*)=0，进而可得Sy*=y*.

第3步，证明Ty*=By*.事实上，由Sy*=y*及S(X)⊂B(X)知，∃u∈X，使y*=Ay*=Sy*=Bu.利用条件(ii)得到

再由引理1(i)有d(Bu,Tu)=0，进而可得Bu=Tu.因(T,B)次相容，故Ty*=TBu=BTu=By*，即Ty*=By*.

第4步，证明Ty*=y*.由条件(ii)可知

再由引理1(i)得到d(y*,Ty*)=0，进而可得Ty*=y*=By*.

综上，有y*=By*=Ty*=Sy*=Ay*，即y*是S,T,A,B的公共不动点.

如果S连续，则{S2x2n}和{SAx2n}都收敛于Sy*，由式(12)以及(S,A)的相容性得d(SAx2n,ASx2n)→0(n→∞)，从而ASx2n→Sy*(n→∞).由条件(ii)有

于上式中令n→∞得

由此及引理1(i)可知，有d(Sy*,y*)=0，进而可得Sy*=y*.

由于y*=Sy*∈S(X)⊂B(X)，故∃v∈X，使y*=Sy*=Bv.再由条件(ii)有

于上式中令n→∞，并注意到Sy*=Bv得

由此及引理1(i)可知，有d(Sy*,Tv)=0，进而可得Sy*=Tv，于是y*=Sy*=Bv=Tv.考虑到(T,B)的次相容性，有Ty*=TBv=BTv=By*.再次利用条件(ii)，有

于上式中令n→∞，并注意到By*=Ty*得

由此及引理1(i)可知，有d(y*,Ty*)=0，进而可得y*=Ty*.由于y*=Ty*∈T(X)⊂A(X)，故∃w∈X，使y*=Ty*=Aw.利用条件(ii)，并注意到By*=Ty*=Aw可得

Φ(0)≤Φ(d(Sw,y*))

由此及引理1(i)可知，有d(Sw,y*)=0，进而可得y*=Sw，于是y*=Aw=Sw.又由(S,A)的相容性易得Sy*=SAw=ASw=Ay*.

综上有y*=Sy*=Ty*=Ay*=By*.故y*是S,T,A,B的公共不动点.

下证公共不动点的唯一性.设z也是S,T,A,B的一个公共不动点，则由条件(ii)有

由此及引理1(i)可知，有d(y*,z)=0，即y*=z，因此y*是S,T,A,B的唯一公共不动点.

2) 当T,B之一连续，且(T,B)相容，(S,A)次相容时，类似1)同理可证.

3) 设A,B之一为满射，且(S,A)和(T,B)都次相容.

如果A是满射，则对y*∈X,∃u∈X,使Au=y*.由条件(ii)可知

(13)

于上式中令n→∞，并注意到Au=y*得

由此及引理1(i)可知，d(Su,y*)=0，即Su=y*，因而Su=Au=y*.又(S,A)是次相容的，故有Ay*=ASu=SAu=Sy*.以y*代替式(13)中的u可得Sy*=y*，于是Ay*=Sy*=y*.类似1)可证y*是S,T,A,B的公共不动点.与1)同样可证y*是S,T,A,B的唯一公共不动点.

当B是满射时同理可证y*是S,T,A,B的唯一公共不动点.至此定理1获证.

注1文献[3]的定理1中要求函数Φ满足：若t≤Φ[(1+2t)t],则t=0，本定理中取消了这一限制，因而本质上改进了[3]中的主要结果.

注2即使在定理1中分别取1)S=T；2)A=B；3)S=T,且A=B；5)S=T,且A=B=I(I表恒等映象)这几种特殊情况，所对应的结果也是全新的.

推论1设(X,d)是完备度量空间，{Ti}i∈I(I是指标集，I的势不小于2)是X上的自映象族，A,B是X上的自映象，若{Ti}i∈I,A,B满足以下条件：

(i)TiX⊂BX，TiX⊂AX(∀i∈I)；

(ii) 对于一切使得M(x,y)>0的x,y∈X，i,j∈I(i≠j),有下面的不等式成立

d(Tix,Tjy)≤Φ(M(x,y))

其中函数Φ满足条件(Φ).如果以下条件之一被满足，则A,B,{Ti}i∈I在X中有唯一的公共不动点.

1)Ti(∀i∈I),A之一连续且(Ti,A)相容，(Ti,B)次相容；2)Ti(∀i∈I),B之一连续且(Ti,A)次相容，(Ti,B)相容；3)A,B之一为满射且(Ti,A)和(Ti,B)(∀i∈I)都次相容.

因此由引理1(i)可知，d(Tiz,z)=0，进而Tiz=z.故z是A,B,{Ti}i∈I的公共不动点，其唯一性由条件(ii)易证.证毕.

[1] 张石生.不动点理论及其应用[M].重庆：重庆出版社，1984.

[2] 谷峰.关于Φ扩张相容映象的公共不动点定理[J].宝鸡文理学院学报:自然科学版，2001，21(3)：176-179.

[3] 傅秋平.一类新的Φ-压缩映象的公共不动点定理[J].高师理科学刊，2006，26(4)：1-5.

[4] Jungck G. Compatible mappings and common fixed points[J]. Internat J Math﹠Math Sci，1986，9(4)：771-779.

[5] 刘立山.(次)相容映象的公共不动点定理与广义Ishikawa迭代逼近定理[J].曲阜师范大学学报:自然科学版，1990，16(2)：40-44.

[6]谷峰,何振华.一类平方型Φ-压缩映象的公共不动点定理[J].商丘师范学院学报，2006，22(5)：27-32.

CommonFixedPointTheoremofFourSelf-MappingswithAClassofNewContractiveCondition

ZHANG Dan, GU Feng

(College of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

By using the compatible and subcompatible conditions of self-mapping pairs in metric spaces, the paper discussed the existence and uniqueness of a common fixed point theorem for four self-mappings with Φ-contractive mapping condition in complete metric spaces and obtained a new common fixed theorem which extended some previous results.

compatible mapping pair; subcompatible mapping pair; Φ-contractive type mapping; common fixed point

10.3969/j.issn.1674-232X.2011.02.008

2010-09-07

国家自然科学基金项目(11071169)；浙江省自然科学基金项目(Y605191);杭州师范大学研究生教改项目.

张 丹(1981—)，女，黑龙江齐齐哈尔人，应用数学专业硕士研究生，主要从事非线性泛函分析研究.

*通信作者：谷 峰(1960—)，男，辽宁沈阳人，教授，主要从事非线性泛函分析及其应用研究.E-mail: gufeng99@sohu.com

O177MSC201047H10；58C30

A

1674-232X(2011)02-0127-06

式(1)(3)，并注意到Φ(t)的右连续性假设，于式(5)中令i→∞取极限得