函数的妙用_参考网

函数的妙用

2011-11-21

中学教研(数学) 2011年6期

关键词：化工厂工业废水金额

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(绍兴县实验中学浙江绍兴 312030)

函数的妙用

●毛幼娥

(绍兴县实验中学浙江绍兴 312030)

函数的实质是表述运动与变化过程中的变量间的动态关系.培养学生运动与变化的观念,是中学数学教学的重要目标之一.本文结合实例对与之有关的问题作一些剖析，以便能从中领略此类问题的一些处理方式和解决策略.

1 构造函数证明不等式

根据式子的特点，构造适当的函数，以利用其性质解题.

分析本例不等式的左边与右边有明显的共同特征,据此可构造一个新函数，运用此函数的递增性给出证明.

因此f(x)在[0，+∞)上是增函数，而

0lt;|a+b|≤|a|+|b|，

于是

f(|a+b|)≤f(|a|+|b|),

即

例2设x,y,z∈(0,1)，求证：

x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)lt;1.

分析此题中的变量x，y，z有轮换对称性,可考虑构造其中一个变量的函数，利用一次函数的单调性给出证明.

证明设f(x)=(1-y-z)x+y+z-zy-1(0lt;xlt;1),把y,z看作常数，则f(x)是关于x的一次函数.因为

f(0)=y+z-yz-1=-(y-1)(z-1)lt;0,

f(1)=(1-y-z)+y+z-yz-1=-yzlt;0,

所以对于0lt;xlt;1，都有f(x)lt;0，即

(1-y-z)x+y+z-zy-1lt;0,

故

x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)lt;1.

例3a，b，c是三角形的3条边长，求证：

2 妙用函数图像解方程

华罗庚先生曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”.把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而达到优化解题的目的.

例4设方程-x2+4x-3-m=0在0≤xlt;3上有唯一解，求实数m的取值范围.

分析方程左边是二次函数，它在区间上有唯一解.这些特征适宜借助函数图像，利用数形结合解题.

图1

解考虑函数y=-x2+4x-3和y=m，并在同一坐标系内作出这2个函数的图像(如图1).y=m的图像是与y轴垂直的直线，可以上下平行移动.在移动过程中，当它和抛物线弧段y=-x2+4x-3(0≤xlt;3)只有一个交点时，m需满足

-3≤m≤0或m=1.

故m的取值范围是-3≤m≤0或m≤1.

分析学生最容易犯错的解法是将已知条件转化为a+4lt;5-3a，因为此时不是单调性问题了.若用通常的不等式解法，则不仅繁琐，而且不易考虑周全；若能借助图像，则过程就清晰多了.

图2

a+4gt;0，5-3agt;0.

a+4lt;0或5-3alt;0，

( )

A.3个 B.2个 C.1个 D.0个

图3

分析如果采用去分母的方法转化为整式方程来解，那么又化为解一个三次方程了；但若采用等价转化为函数，则利用函数图像就容易解决了.

3 应用函数建模解决实际问题

一次函数、二次函数与现实生活联系紧密，函数应用题可考查学生的建模能力.具体解题过程则仍可用如下的图解方法：

例7某种商品在近30天内,每件的销售价格P(元)与时间t(天)(t∈N)的函数关系近似地满足:

商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系近似地满足:Q=40-t(1≤t≤30).求这种商品日销售金额R的最大值,并指出销售金额最大的一天是30天中的第几天.

分析日销售金额=日销售价格×日销售量,因此先把日销售额与时间的函数关系写出来,然后根据函数解析式求日销售金额R的最大值,同时求出销售金额最大的一天是30天中的第几天.

解由题意得

即

因此当1≤t≤24时,取t=10,最大销售金额为900元;当25≤t≤30时,取t=25,最大销售金额为1 125元.故这种商品日销售金额R的最大值为1 125元,销售金额最大的一天是30天中的第25天.

例8某化工集团在靠近某河流区修建2个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为500万立方米/天，在2个化工厂之间还有一条流量为200万立方米/天的支流并入大河(如图4).第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业废水2万立方米；第二化工厂每天排放这种工业废水1.4万立方米，从第一化工厂排出的工业废水在流到第二化工厂之前，有20%可自然净化.环保要求：河流中工业废水的含量应不大于0.2%，因此，这2个工厂都需各自处理部分的工业废水.第一化工厂处理工业废水的成本是1 000元/万立方米；第二化工厂处理工业废水的成本是800元/万立方米.试问：在满足环保要求的条件下，2个化工厂应各自处理多少工业废水，才能使这2个工厂总的工业废水处理费用最小？

分析可先根据已知条件建立函数模型.