形式函数的可微性与共轭解析性

吴 晓，徐士河

(肇庆学院数学与信息科学学院，广东 肇庆 526061)

形式函数的可微性与共轭解析性

吴 晓，徐士河

(肇庆学院数学与信息科学学院，广东 肇庆 526061)

从复变函数的复形式出发，研究其可微和解析的充要条件，进而得出其共轭可微和共轭解析的条件，并给出了判定形式函数的可微性和解析性的应用。

形式函数；形式可微；解析； C-R条件

复变函数可微的条件是一个重要研究内容。现行教材中已对复变函数的可微性进行了讨论,如文献[1-2]研究了直角坐标系下的C-R方程，得到了函数可微的条件。复变函数共轭解析的前提是函数共轭可微，因而研究复变函数共轭可微的充要条件就尤为重要。下面，笔者定义了形式函数的形式导数与形式微分，根据复变函数可微的方法去研究了复变函数共轭可微的性质，从而得出形式函数的可微和解析条件。

1 预备知识

(1)

(2)

从而有:

定义3若满足：

2 形式函数的解析性

证明:

(3)

则代入式(3)得:

证明由于：

由解析函数的定义和定理3，可得到刻画形式函数在区域D内解析的定理4。

3 形式函数的共轭解析性

这时称函数w=f(z)于点z共轭可导或可微。

引理2[4]设函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义，则函数f(z)在点z=x+iy∈D共轭可微的充要条件是:

(1)二元函数u(x,y)、v(x,y)在点(x,y)可微；

(2)u(x,y)、v(x,y)在点(x,y)满足共轭解析条件：

于是由引理2知，类似定理2容易得出以下结论。

由于二元函数的可微性可以通过偏导数连续判断出来，因而可得到下述推论。

[1]钟玉泉.复变函数论[M].第3版.北京：高等教育出版社，1978:52-71.

[2]杜应雪,许小艳.复变函数的可导性与解析性[J].中国科技信息，2006(13):272-287.

[3]谭小江，伍胜键.复变函数简明教程[M].北京：北京大学出版社，2006:21-22.

[4]王见定.半解析函数共轭解析函数[M].北京：北京工业大学出版社，1988.

[编辑] 洪云飞

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.12.004

O174.5

A

1673-1409(2011)12-0009-03