基于庞得里亚金极值原理的企业资本结构动态最优控制

□文/周 军

基于庞得里亚金极值原理的企业资本结构动态最优控制

□文/周 军

本文从企业最优资本结构调整的成本视角出发，建立最优控制模型，运用庞得里亚金极值原理进行求解，推导出企业资本结构调整的动态最优控制路径和最优状态路径，并对其结果进行经济学解释。

企业资本结构；最优控制；庞得里亚金极值原理

一、引言

资本结构不合理是中国企业存在的普遍现象，非上市国有企业、上市公司和中小企业三大群体分别以债务融资、股权融资、个人资本为主的三元化融资趋势依然明显，由此形成的资本结构与以企业价值最大化为目标的资本结构相去甚远。作为公司金融理论探讨的核心内容，研究如何实现企业资本结构优化不仅是国内外学者关注的热点，也是提高企业资本配置效率，增强企业价值创造能力亟须解决的问题。

资本结构是一个多变量、多层次、多因素集约而成的复合性系统，在一定时点上观察，企业的资本结构呈现出静态特征，表现为权益资本和负债二者之间的比例关系；从一段时期上观察，资本结构又表现为明显的动态属性。根据企业内部资本组成的状态不同，可分为静态资本结构和动态资本结构。静态资本结构反映某一时点上企业全部资金来源的构成及比例关系。现代资本结构理论主要是从静态角度，以各种假设前提为基础，分析企业债务与权益的比例关系，认为只要企业资本总量不变，已实现的最优资本结构就应保持不变，并未考虑外界经济环境与企业自身生产经营条件的变化对资本结构的影响。事实上，影响资本结构的诸多因素都是变量，即使资本总量不变，企业也不能以不变的资本结构应万变。动态资本结构则是企业依据获取的资金特征及时合理地调整各类资金来源的即时结构。由于企业资金总是处于不停的变化中，因此静态资本结构往往只是动态资本结构在某一时点上的体现，或者说是动态资本结构运行的结果。显然，合理的资本结构应该是灵活的、富有弹性的，能够根据外部环境的变化和企业战略的需要进行适时的调整，达到运动中的“最优”。而资本结构动态优化需要解决这样的问题：在整个规划期间内的每个时期（离散时间情形）中，或者在给定时间区间内的每一时刻（连续时间情形），甚至可以考虑无限时间计划水平，企业资产负债率的动态最优解。这样，动态优化问题的解通常具有如下形式：对于企业融资决策，最终会有一条资本结构的最优时间路径，即计划期每一时刻的最优值。

但是，企业资本结构优化需要通过一系列交易行为来实现，无论是单独调整债务或权益数量，还是同时变动，都需要付出交易成本。因此，本文将从企业最优资本结构调整的成本视角出发，建立最优控制模型，运用庞得里亚金极值原理进行求解，并就其结果进行经济学解释，为提高公司治理水平提供参考。

二、最优控制模型建立及求解

资本结构是长期融资行为的结果，向最优资本结构的调整也是一个长期渐进的过程。对企业而言，与最优负债权益比存在差距是必然的。由于最优资本结构是动态变化着的，所以企业不可能时刻都保持着最佳负债权益比，而且企业不可能在很短时间内转变现有融资行为，将资本结构调整到理想状态。

动态优化的目的是在修正原有融资战略实施的过程中，对资本结构的偏离予以适时修正，使融资战略紧密围绕可持续增长目标，以适应复杂多变的环境。动态优化的实质是一个战略调整与控制过程，即通过对资本结构优化影响因素的辨识，分析其对企业最优资本结构的作用，从而通过债务与权益资本的增减变化对资本结构进行科学的调整，保持企业可持续发展的潜力，以实现企业价值最大化的总目标。我们对最优资本结构模型的表述，用X统一代表t时刻企业最优资本结构的决定因素，建立如下函数关系：

其中，L*（t）表示企业在t时刻的最优负债权益比率。由于不同企业具有不同的最优资本结构决定因素X，因此企业拥有各异的最优资本结构。而且对于同一家企业来说，X随时间t的变动而变化，其最优资本结构在不同时期也将有所差别。理想情况中，公司在t时刻的资本结构观测值L（t）应当等于其最优资本结构L*（t）。在企业调整资本结构的背景下，公司的资本结构从上一期 L（t-1）调整到当期 L（t）的实际调整额（L（t）－L（t-1）），应当等于调整到当期的最优资本结构L*（t）所需要的调整额（L*（t）-L（t-1））。不过，由于资本结构调整成本等干扰因素的存在，企业在每一期不是将资本结构调整到最优值，而是只调整一部分，由此引入一个部分调整模型，即调整参数为δ（t）。

（3）式给出了资本结构的动态调整模型，由该模型可以看出，企业实际资本结构不仅受最优资本结构的影响因素制约，还与上一期债务与权益的数量情况有关。为了找到资本结构优化有效性的量度，本文将定义δ（t）为资本结构优化速度，即每一特定时间内企业实际资本结构调整量与最优资本结构调整量的比值，表示资本结构优化的快慢。如果δ（t）＜0，说明实际资本结构调整方向与最优状况相反，离最优负债权益比差距越来越大；如果 0＜δ（t）＜1，说明实际调整方向相同，不过单位时间内的幅度稍小；如果δ（t）＝1，说明实际与最优状态相符；如果 δ（t）＞1，则意味着调整速度过快，已经超出目标资本结构。一般情况下，优化速度将位于［0，1］之间，表示企业正在进行着资本结构优化的努力，但有很多因素制约着优化速度。

我们可以把L（t）－L（t-1）看作L*，把L*（t）－L（t-1）用参数 ω 代表，由-1≤L≤1，知 ω 的范围为［-1，1］，因此资本结构动态优化状态变量需满足：

另外，设初始时刻（t=0）企业资产负债率为L0，终止时刻状态变量自由。根据资本结构运动导致的财务风险和优化的成本收益分析，结合渐进稳定性的内涵，为了防止资本结构过度调整带来的负面效应，我们把资本结构优化速度的范围设定为：

企业资本结构优化需要通过一系列交易行为实现，无论是单独调整债务或权益数量，还是同时变动，都需要付出交易成本。结合资本结构优化行为的具体情况，我们把影响企业资本结构优化的交易成本△E的因素简化为四个特征性变量：交易数量、资产专用性程度、资本结构优化的决策效率（源于委托代理问题）和市场不确定因素（即企业经营者控制不到的随机因素）。如果假设这四种特征性变量为 q，k，ρ，φ，则交易成本函数可以表示为：

需要说明的是，q指企业采取资本结构优化行为所发生的交易额度，代表企业为达到资本结构优化目的进行的全部交易，既包括债务的改变，也包括权益的改变。同时，我们把q看作一个标量，不区分优化的方向。如果单位时间内企业将债务权益比例调整到最优，q=1；相反，若企业根本没有进行资本结构优化行为，q=0，没有产生交易成本；更一般的情况，企业采取资本结构优化措施，但并没有达到最优状态，0

假设1：不考虑企业资产专用性程度和市场不确定因素的影响，只分析交易数量与交易成本之间的关系，优化速度越快，单位时间内交易额越大。

假设2：根据一般的交易成本经济学理论，交易额越多，优化行为的交易成本应该越大，即 ∂E/∂q＞0；而且，随着交易额的增加，交易成本增加得越快，即 ∂2E/∂q2＞0。

假设3：假定交易成本为最普通的成本函数，由两部分组成：一是固定交易成本，即不随交易量变化而改变的成本；二是可变交易成本，即随着交易数量变化而改变的成本。有了这种划分，可知当交易量为零时，交易成本也为零；不过，一旦优化行为发生，固定数量的交易成本就不可避免。

经综合考虑，企业资本结构动态优化的目标函数由两部分内容组成：一方面某一时期资本结构与最优资产负债率之间的差距导致了资本运营的低效率（主要指除财务资本成本之外的代理成本、破产风险等因素产生的低效率），这种低效率可表示为（L－L*），由于该数值可正可负，将其平方处理（L－L*）2作为资本运营低效率产生的成本；另一方面在把交易成本看作二次线性函数、收益看作一次线性函数的条件下，资本结构优化行为带来的成本可表示为（pδ2-qδ+h），（p≥0，q≥0）。这样，t时期企业资本结构优化行为的总成本等于｛（L－L*）2＋（pδ2-qδ+h）｝，其中 L 为状态变量资产负债率，δ为控制变量资本结构优化速度。由于优化问题的目标函数一般为极大值，而我们得到的是时期t的总成本，所以加负号将成本最小问题转化为最大值问题-（L－L*）2-（pδ2-qδ+h）。进一步可得到企业资本结构动态优化的目标函数：

综上，可以得到资本结构调整的最优控制模型：

其中，δ为外生控制变量。利用庞得里亚金极大值原理求极值问题，首先构造哈密尔顿函数：

有了 δ（t）解析表达式，再将其代入（8）式，可以得到状态变量L（t）的表达式：

三、最优状态路径与最优控制路径解释

得到最优控制路径和最优状态路径的数学解析式以后，还需要对计算结果进行经济学解释。对于最优状态路径，由于时间T的资本结构没有加以限制，所以无法解出参数A的具体数值。为了更好地说明状态变量变化，我们设L-L*=M，对公式（15）进行转换，得：

1、资本结构动态优化的最优状态路径L可解释为：资本结构L将随着时间动态变化，当 t=0 时，M＝L0－L*，即L＝L0；随着时间 t的增加，公式（17）的分子逐渐变小，分母逐渐变大，说明L－L*＝M的值趋于减少，实际资本结构与最优资本结构的差距逐渐缩小；当t→∞时，M=0⇒L=L*，说明资本结构达到了最优状态。因此，在哈密尔顿函数下求解资本结构动态优化模型得到的最优状态路径表明，状态变量L与L*最优值之间的差距将呈递减趋势，企业资产负债率向着理论上的最优值逐渐靠拢，当时间增加到一定程度，实际资产负债率就会十分接近最优值，直至时间趋近于无穷大时二者相等。尽管这里假定最优值L*是固定不变的，如果赋予L*动态特征，其最优状态路径是类似的，只不过状态变量将不断趋近于变动着的最优资本结构值。

2、最优控制路径的解释：参考公式（14），由于前一个多项式为常数，资本结构优化速度将随后面多项式的数值-ω（L－L*）t/p改变发生变化。当 L＜L*时，-ω（L－L*）/p＞0，优化速度 δ随着时间的增加而提高，使得资本结构L向最优值 L*逼近；当 L＞L*时，-ω（L－L*）/p＜0，优化速度为负，资本结构即随着时间增加而反方向变化，同样推动着资本结构L向最优值L*的方向调整。优化速度δ符号的正负变化，说明资本结构将以最优值为核心上下浮动，进一步揭示了控制变量与状态变量的内在联系：控制变量（资本结构优化速度）约束着状态变量（企业资产负债率）的变化，在最优资本结构L*不变的条件下，控制的结果使状态变量围绕其上下波动，在最优资本结构随时间不断变化的条件下，控制变量同样使企业资产负债率向着时变的最优值进行动态调整，使二者的差距保持在尽可能小的范围内。

四、结束语

本文从企业最优资本结构调整的成本视角出发，建立最优控制模型，运用庞得里亚金极值原理进行求解。利用传统资本结构理论解释企业资本结构的形成、影响因素，从“动态”视角，结合控制论、最优控制原理、公司财务理论，对企业资本结构的动态性、资本结构动态优化的理论路径以及企业资本结构动态优化的实现机制进行了阐述。研究表明，通过对企业资本结构调整的成本与企业资本结构之间的动态关系分析，可知最优债务权益比将随着内外经营环境的变化而发生改变，静止地看待资本结构是不全面，也是不合理的。企业资本结构优化应该是一个朝不断变化着的目标债务权益比例持续调整的动态过程。利用系统控制理论，将资本结构视为动态经济系统是一种可行的选择，这样不仅使原本纷繁复杂的影响因素得以明确划分，又赋予资本结构优化拥有动态特征，更重要的是，以此推导出资本结构动态优化的最优状态路径和最优控制路径，为提高公司治理水平提供参考。

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（作者单位：华侨大学经济与金融学院）