超临界翼型稳健型优化设计研究

白俊强，王 波，孙智伟，张 扬

(西北工业大学翼型叶栅空气动力国防科技重点实验室，陕西西安 710072)

0 引言

飞行器气动外形设计过程中，翼型的气动设计是一项重要的、关键的环节，基本翼型的设计关系着机翼设计的压力分布理念，从而对机翼的流动形态有着重要影响，因此开展对翼型的优化设计方法研究有着重要意义。

决定气动设计结果的主要因素包含CFD分析能力、参数化方法以及优化算法的效率，更重要的是优化模型问题的建立，这些因素之间相互影响相互制约。传统翼型的气动优化是在理想条件下进行的，当条件受到扰动发生变化时，最优翼型的性能会急剧恶化。以马赫数为这个条件因素为例，对一个给定马赫数下翼型进行优化将会造成邻近马赫数下性能的下降，而如果对多个马赫数进行多点优化设计，由于巨大的计算量的代价，也同样不能从根本上解决非设计点性能恶化的问题。翼型的稳健型优化设计［1］能够解决这一问题，同样以马赫数为条件因素，该方法能在给定马赫数变化范围内减小翼型的阻力，保证翼型阻力性能波动尽可能小。

对于气动优化分析带来的计算量大的问题，一种非常有效的解决途径是使用神经网络［2］进行优化计算，其计算量要比CFD方法的计算量小得多，因此能够极大地提高优化效率。

本文基于径向基函数神经网络、CST方法以及标准遗传算法构建了翼型稳健型优化设计系统，针对某型客机的基本翼型设计指标进行了以及稳健型优化设计。

1 RBF神经网络

RBF神经网络［3，4］在函数逼近方面有其特有优点。RBF是一类局部分布的对中心点径向对称衰减的非负非线性函数。将RBF应用于构造神经网络的激励函数从而构成了RBF神经网络。

图1给出了一个单输出的RBF神经网络结构，其输入－输出映射关系可以表示为:

其中x为输入向量，φ(·)为径向基函数，ci为第i个隐层节点径向基函数的中心，σi为该径向基函数的宽度，wi为该节点与输出节点的连接权值，Nh为隐层节点的数量，w0为偏置值。

图1 RBF神经网络结构示意图Fig.1 The sketch map of neural network

2 CST参数化方法

用CST参数化方法［5，6］来表示一般翼型的数学公式为:

这里类函数和型函数分别用以下式子表示:

方程右端的第一项和第二项分别形成翼型的圆前缘和尖后缘，以保证参数化在翼型的轴向极值处具有很好的数学特性。方程中的型函数是在两个极值之间描述翼型形状的解析函数。

为了生成更复杂更实用的翼型，Kulfan把单位型函数分解为一个伯恩斯坦多项式。伯恩斯坦多项式的每个分量可表示为:

Ki是型函数分量的二项式系数，n是伯恩斯坦多项式的阶数。二项式系数表示为:

用方程中的伯恩斯坦多项式分量代替方程中的型函数分量，对于任意翼型可以得到如下型函数:

3 CFD分析方法

气动分析模型采用的是RANS方程数值求解方法。在RANS方程求解过程中，采用了LU－SGS时间推进方法，空间离散采用的是Roe格式，湍流模型为SST模型。网格为261×65的C－H网格。

算例选定绕RAE2822翼型跨声速流场验证算例，结果如图2所示。

4 基于遗传算法的稳健优化系统

①稳健优化模型与遗传算法

稳健型优化是一个期望值随机优化问题，本文的遗传算法采用实数编码，由于遗传算法的整体搜索策略和优化计算时不依赖于梯度信息，所以它的应用范围非常广泛，尤其适合于处理传统搜索方法难以解决的高度复杂的非线性问题。其设计流程图如图3所示。

因此，本文采用标准遗传算法对上述优化模型问题展开研究。种群规模为 Q，最大进化代数为N，交叉概率Pc，变异概率Pm，遗传算法每一个体的目标值随机模拟计算。翼型的几何约束采用罚函数法处理，即对违反约束的个体适应度施加一个罚项。

本文采用以下数学模型:

其中，M为马赫数，P(M)为概率密度。

②试验设计

本文样本选取采用拉丁超立方设计，拉丁超立方设计(Latin Hypercube Sampling，LHS)最早由 McKay［7］提出，Sacks［8］首先将该方法应用于计算机仿真试验中，随后该方法得到了越来越广泛的应用。

设有m个设计变量，样本数量为N。LHS取样将每个设计变量分为N个区间，如果均匀分布，则N个区间等间隔，这样整个设计空间分成mN个子区域。

LHS方法选样本点用下面的算法产生:

其中1≤j≤m，1≤i≤N，上标 i表示样本序号，下标j表示变量序号，U 为［0，1］之间的随机数，π 为 0，1，…，N-1独立随机排列，有N!种排列。在哪个区间则决定了在区间的那个地方。

LHS方法选取的样本有以下特点:

1.在任一维上的投影都有与样本个数相同的子区间，每个子区间中有且仅有一个样本。

2.样本在每个子区域内随机选取。

③基于神经网络的气动力预测

由于在对每个翼型进行μ2+σ2的函数值分析时本文都随机抽样了2000个马赫数，这需要巨大的计算量，所以本文利用神经网络的非线性映射特性，以神经网络代理模型代替求解N－S方程的流场数值计算模型进行气动特性分析，极大提高了稳健型优化设计的效率。

5 气动问题优化设计

算例一:

以RAE 2822为初始翼型进行优化，该超临界翼型的设计状态定为:M∞=0.73，Cl=0.72，Re=2.0 ×107，优化目标为阻力系数最小，约束条件为最大厚度和升力系数都不减小。进行稳健优化，稳健优化设计中将马赫数作为飞行不确定因素，且假定其在0.69到0.74的范围内服从平均分布，于是稳健型优化设计问题可以表示为:

其中

文中种群规模选定90个，最大进化代数为60代，交叉概率为0.7，变异概率为0.1，稳健设计中随机抽样2000个马赫数进行μ2+σ2的函数值分析，每代进化后更新代理模型。

表1为优化前后翼型性能比较，在保持升力系数不变及翼型最大厚度不减小的情况优化前后阻力系数降低了 20.9 counts。

表1 巡航状态优化前后Table 1 The result of the optimization in comparison with the initial result

图4给出了优化前后翼型的形状，图5为相应的翼型表面压力分布。从翼型压力分布上可以看出，优化前的翼型在55%位置上存在一道很强的激波，而优化后的翼型已经消除了该强激波。

图6给出了优化前后的阻力发散特性，优化后的翼型在各马赫数位置阻力系数明显降低，同时极大地提高了阻力发散特性。

图6 优化前后阻力发散特性Fig.6 The drag divergence characteristic of the optimization in comparison with the initial result

算例二:

以某型超临界翼型为初始翼型，设计状态及优化设计方法同算例一，该翼型在给定的设计状态下有着较好的气动特性，在保证巡航阻力不增大时优化目标为减小不确定马赫数范围内的阻力均值及方差，同时减小后加载。

表2 巡航状态优化前后Table 2 The result of the optimization in comparison with the initial result

图7给出了翼型优化前后的形状变化，可以看出翼型头部半径减小，最大厚度位置后移，弯度减小，后加载减小，减小了低头力矩。由表2可见，翼型优化后降低了巡航阻力系数，提高了巡航效率。从图8压力分布可以看出激波仍为等熵压缩，激波强度减弱，在巡航状态阻力减小的同时减小了不确定马赫数范围内的阻力均值及方差，同时减小了低头力矩。

图7 优化前后翼型形状Fig.7 The shape of of the airfoil after optimization in comparison with the initial shape

图9给出了优化前后的阻力发散特性，经过稳健型优化后的翼型在给定的马赫数范围内阻力系数降低，极大地提高了阻力发散特性。

6 结论

本文基于RBF神经网络、标准遗传算法以及CST参数化方法构建了翼型稳健型气动优化设计系统。

根据所采用的优化算例看，该优化设计系统既能够有效地改善气动性能较差翼型的气动特性，又能对拥有较好气动性能的翼型的气动特性进行进一步提升，减小超临界翼型的后加载。

从优化设计压力分布看，所采用的参数化方法能给出合理的翼型并给出合理的压力分布，在工程中有着较大实用价值。

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