关于胡克定律中劲度系数的分析

刘清扬

1引言

影响弹簧劲度系数的因素有很多，本文选取了弹簧原长、横截面直径和材质这三个因素探讨了弹簧劲度系数的变化，并通过分析验证了实验结果的可靠性。

2实验方案

弹簧的劲度系数计算公式如式（1）所示：

[F=kx] （1）

式（1）中k为弹簧的劲度系数（N/m），x为弹簧的形变量（m），F为弹簧的弹力（N），式（1）所示的等式即为胡克定律。

采用的弹簧为圆柱形，对变量进行逐一控制，每组实验采用相同的砝码，以焦利氏秤测量弹簧的劲度系数。各组实验的参数如表1所示：

对比A1、A2的实验结果可以得出弹簧长度对劲度系数的影响；对比B1、B2的实验结果可以得出弹簧直径对劲度系数的影响，需要说明的是，弹簧是由各种材质的丝线密绕而成的，这里所说的弹簧直径是指整个弹簧的直径，与弹簧丝的直径不同；对比C1、C2的实验结果可以得出弹簧材质对劲度系数的影响。

3結果分析

表1所示为劲度系数的实验结果，A1和A2的实验结果，A1和A2组实验中采用的弹簧都是钢丝制成的，弹簧的直径都相同，但A1弹簧的长度约为A2弹簧的一半，经过测试后A1的劲度系数是A2的两倍。B1组的弹簧直径明显小于B2组，但测试得到的劲度系数却要大于B2组，当弹簧材质和原始长度相同时，弹簧的直径越大，其劲度系数反而越小。当弹簧原长和直径都相同时，不同材质的弹簧其劲度系数不同，如C1和C2组获得的劲度系数，C1组所用的弹簧是用钢丝制成的，C2组的弹簧是用铜丝制成的，从实验结果来看，钢丝制成的弹簧的劲度系数要大于铜丝。

通过上述实验结果可以看出弹簧的劲度系数与弹簧的形状和材质由密切的关系，形状因素是指弹簧的外形、尺寸（包括原长、半径以及弹簧丝的半径）等，材质因素则是指制作弹簧的原材料，原料的众多力学参数如弹性和剪切模量等都会对弹簧的劲度系数产生影响。对于常见的弹簧来说，往往是由各种材料的细丝密绕而成，弹簧的直径往往远大于细丝的直径，综合考虑各种因素后，这种弹簧的劲度系数可以表示为式（2）：

[k=Gr4/32nR3] （2）

式（2）中用于制作弹簧的材质的剪切模量用G表示，弹簧细丝的半径用r表示，弹簧的横截面半径用R表示，弹簧匝数（有效匝数）用n表示。从式（2）中可以获得与实验结果一致的规律，即当其他变量固定时，弹簧的直径越大，劲度系数越小，这与B1和B2组得到的结果一致；C1和C2组中使用的弹簧分别由钢丝和铜丝制成，我们知道钢丝的剪切模量要大于铜丝，因此根据式（2），前者的弹性模量要大于后者，与实验结果吻合。

弹簧的原始长度L和弹簧匝数n有关，L与n满足式（3）所示的关系：

[L=2rn] （3）

将式（3）代入式（2），得到如式（4）所示的关系式：

[k=Gr5/16LR3] （4）

从式（4）中可以看出弹簧的劲度系数k反比于弹簧原长L，即弹簧原长越短劲度系数越大，与A1和A2组的实验数据吻合。

4结论

综上所述，胡克定律中弹簧的劲度系数与弹簧的原长、弹簧横截面直径和弹簧材料有关，弹簧原长越短，横截面直径越小，制作弹簧的材料剪切模量越大，弹簧的劲度系数越大。endprint