彩票发行方案的优选模型

霍丽娜

（榆林学院 数学系，陕西 榆林 719000）

彩票发行方案的优选模型

霍丽娜

（榆林学院 数学系，陕西 榆林 719000）

本文引入彩民心理曲线建立模型来描述方案对彩民的吸引力；在此基础上考虑各种约束条件，建立寻求更优彩票发行方案的模型，并采用分段遍历搜索方法求出给定约束下的最优方案.

彩票方案；心理曲线；遍历搜索

1 问题提出

彩票发行者的最终目的是实现彩票销售收入的最大化，而要增加销售收入，就要考虑采用什么样的方案才能吸引广大彩民积极地购买彩票；再者，我国彩票业的发展尚处于初级阶段，彩票市场较为单一的票种和玩法制约了彩票发行规模的扩大，同时给私彩的生存及境外彩票侵入留下了空隙.因而，从长远的利益来看，彩票管理部门应该创新，设计一些新的彩票发行规则，实行产品创新.要设计一种更优的方案，必须从两个方面去考虑:从举办单位来说，应尽可能地提高彩民的购买吸引力；从彩民的利益来说，奖项设置应尽可能多一些、中奖概率应尽可能大一些.一个合理的方案，必须兼顾这两方面的内容，把握好度的问题.

根据上述讨论知，现在的问题是取什么样的方案m/n（n和m取何值）、设置那些奖项、高项奖的比例rj（j=1,2,3）为多少和低项奖的奖金额xi（i=4,5,6,7）为多少时，使吸引力F目标函数有最大值.

2 符号说明

rj——第j等（高项）奖占高项奖总额的比例，j=1,2,3；

xj——第j等奖奖金额均值，1≤j≤7；

Pj——彩民中第j等奖xj的概率，1≤j≤7；

μ（xj）——彩民对某个方案第j等奖的满意度，即第j等奖对彩民的吸引力,1≤j≤7.

3 模型的建立

3.1 模型准备

3.1.1 确定彩民的心理曲线

彩民对一个方案的各个奖项及奖金额的看法（即对彩民的吸引力）的变化就是一个典型的模糊概念.根据人们通常对一件事物的心理变化一般遵循的规律，不妨定义彩民的心理曲线[1]为：

其中λ表示彩民平均收入的相关因子，称为实力因子，一般为常数.

3.1.2 计算实力因子

实力因子是反映一个地区彩民的平均收入和消费水平的指标，确定一个地区彩票方案应考虑所在地区的实力因子，在我国不同地区收入和消费水平是不同的，因此，不同地区实力因子应有一定的差异.我们以中等地区收入水平（或全国平均水平）为例进行研究.根据相关网站的统计数据，不妨取人均年收入1.5万元，按我国的现行制度，平均工作年限T=35年，则人均总收入为52.5万元.于是，当x0=52.5万元时，取（即吸引力的中位数），则有

表3.1 各收入对应的实力因子

同理，可以计算出年收入1万元、2万元、2.5万元、3万元、4万元、5万元、10万元的实力因子如表3.1.

3.2 模型建立

由问题的分析可知，一个合理的方案应包含两层含义：

3.2.1 方案的基本合理性[2]：如高项奖的期望金额高于低项奖；固定奖的最低金额不能过低等；以及方案的可行性如高项奖浮动比例与低项奖固定金额规则的制订就充分体现了方案的可行性.如果改为高低项奖均为浮动比例，则显然方案的发行成本增大，可行性降低；如果改为高低项奖均为固定金额，则方案的发行风险会增大，可行性也会降低.

3.2.2 方案对彩民的吸引力：前者是基本前提保证，后者体现了择优的过程.设计一个“更好”的方案需要同时满足两者，方案的基本合理性和可行性是应该首先进行验证的，主要是出于现实的考虑，一些明显的合理性检验应在前期完成.很多方案明显在基本合理性和可行性上存在缺陷，对此类方案根本无需考虑其对彩民的吸引力.

为了取得最合理的彩票发行方案，就要使得吸引力 的目标函数达到最大值，即

以m,n,rj（j=1,2,3）,xi（i=4,5,6,7）为决策变量，他们之间满足以下关系，即约束条件：

（1）高项奖奖金额均值[1]和心理曲线的计算

（2）高项奖的奖金比例和为1，所以模型中有r1+r2+r3=1；

（3）合理的彩票发行方案，其一等奖期望金额应介于保底金额与封顶金额之间，这是彩票长期稳定发行的前提.因此有 6×105≤x1≤5×106；

（4）部分彩民热衷彩票，其心态是基于特大奖（一等奖）的诱惑，为了能够吸引这一部分彩民，方案必须使得一等奖的奖金要占高项奖总金额的大部分.同时，除一等奖以外的其他高项奖的奖金比例也应在某一合理区间内.这一约束条件可表示为：rj∈[αj,βj],j=1,2,3；

（5）要提高彩票方案的吸引力，就要提高彩票方案的中奖概率和，其最直接的方法就是增加奖项，但是设立的奖项太多，又往往会降低大奖的金额，降低对彩民的吸引力，所以奖项的设置也应合理.每一个低项奖的奖金金额同样要处于某一合理区间[cj,dj]，j为低项奖奖项，允许低项奖的奖金金额为0，表示相应彩票方案中不设置该奖项.可表示为：xj∈[cj,dj],j=4,5,6,7；

（6）实际中高等奖的概率Pj应小于低等奖的概率 Pj+1，即Pj

（7）对方案中m,n的取值范围也应有一定的约束，这是由已知的方案确定的.本模型取5≤m≤8,20≤n≤40.

综上所述，建立取得最合理彩票发行方案的目标规划模型为：

4 模型求解

（1）先确定决策变量rj,xj的合理浮动区间，其浮动区间的设置存在人为主观因素的影响，即彩票发行部门有权对浮动区间的范围进行修改，本文先从提供的方案中总结各变量的大致浮动范围，如表4.1所示：

表4.1 各决策变量的大致浮动区间

（2）模型中概率Pj（j=1,2,…7）是m,n的函数，具体计算参照四种不同类型彩票方案的各奖项获奖概率[3]求解.

（3）xj在j=4,5,6,7时为低项奖奖金额，虽然每个低项奖都有一个浮动区间，但是仍允许低项奖的奖金金额为0，表示相应彩票方案中不设置该奖项.在编程时除考虑决策变量浮动区间内的值外，还要考虑到xj=0（j=4,5,6,7）的情况.

（4）这是一个较复杂的非线性整数规划[4]，一般的求解比较困难.本文利用穷举法，让n从20到40，m从5到8，步进为1，遍历上表中未知变量的浮动范围，以求得最大合理度，即最优彩票发行方案.因为有较多的未知变量，计算量非常大，所以将因素分为高项奖和低项奖进行分段遍历搜索：先固定低项奖的金额值xj（j=4,5,6,7），让高项奖金额比例rj（j=1,2,3）浮动；然后固定计算得到的高项奖金额比例，计算低项奖的金额.这样可大大减少计算量，加快计算速度.

算法实现：

Step1:固定x4=200,x5=50,x6=10,x7=5；

Step2:对一切5≤m≤8,20≤n≤40，遍历r1,r2,r3的浮动范围；若r1+r2+r3=1就继续，否则返回2；

Step3:分K1,K2,K3,K4四种情况，计算相应的Pj.检验Pj

Step4:计算xj（j=1,2,3）和μ（xj）j=1,2,…7，检验是否6×105≤x1≤5×106，若是则继续，否则转2；

Step6:固定上面求出的r1,r2,r3的值，重复过程（2）～（4），遍历x4,x5,x6,x7的浮动范围.最后记出F取最大值时，x4,x5,x6,x7的值.

该模型的计算通过Matlab编程实现，对于不同的变量浮动范围，该模型都可以很快的得到有最大吸引力的方案.

通过Matlab编程计算，可求得最优解为{K3，6.37，0.75，0.15，0.1，500，100，50，5}，最优值为F=6.5263×10-7.故对应的最优方案为：37选6+1（6+1/37）,一、二、三等奖的比例分别为75％、15％、10％，四、五、六、七等奖的金额分别为500、100、50、5元.

不同的彩票发行部门对表4.1中的浮动范围有不同的取舍，我们可以修改表4.1中的变量浮动范围，求得不同的最优方案.

再者，前面是针对中等收入水平的彩民情况考虑的，对于经济发达地区和欠发达地区应有所不同.我们还可以分别对年收入1万元、2万元、2.5万元、3万元、4万元、5万元、10万元，工作年限平均为35年的情况进行讨论，就可以给出适用于相应各种情况的最优方案.这里我们不给出计算结果.

5 小结

由上述分析可知，基于彩票发行单位的不同要求，有不同的变量浮动范围，可得出不同的最优方案.变量的约束条件可根据彩票发行单位的意愿决定，该模型可以很快为彩票发行部门求得不同约束条件下的最优方案.而且，最优方案的确定还依赖于彩民所在地区的平均收入水平即平均年总收入，对于不同的地区（例如经济发达地区和欠发达地区）所得出的最优方案也是不同的.

〔1〕韩中庚.“彩票中的数学”问题的优化模型与评述[J].工程数学学报，2003.3,20（5）:108-114.

〔2〕齐海涛,裴卫斌,王征.彩票发行方案的合理性分析[J].沈阳航空工业学院学报，2003.3,20（1）:81-83.

〔3〕霍丽娜.彩票发行方案的合理性评价[J].科技信息，2011（3）：30-31.

〔4〕洪善艳,周姝,刘梅娟.彩票方案的优选模型[J].工程数学学报，2003,20（5）：101-106.

F224.9

A

1673-260X（2011）09-0045-03

榆林学院高层次人才科研启动基金项目（08GK029）