矩阵乘积关于广义逆的交换律及广义交换律

李 莹, 高 岩, 郭文彬

(1.上海理工大学管理学院,上海 200093;2.聊城大学数学科学学院,聊城 252059)

矩阵乘积关于广义逆的交换律及广义交换律

李 莹1,2, 高 岩1, 郭文彬2

(1.上海理工大学管理学院,上海 200093;2.聊城大学数学科学学院,聊城 252059)

定义了两个矩阵乘积关于广义逆的交换律与广义交换律的概念,利用矩阵秩方法及奇异值分解分别研究了两个矩阵乘积关于{1}-逆,{1,2}-逆,{1,3}-逆与{1,4}-逆的交换律与广义交换律成立的充要条件,并对其进行了比较.

{i,j,k}-逆;群逆;广义Schur补;秩方法;奇异值分解;交换律

1 预备知识

以Cm×n表示所有m×n复矩阵的集合.A*,r(A),R(A),N(A)分别表示矩阵A的共轭转置、秩、值域与零空间.对于A∈C n×n,ind(A)表示A的指标,它是指满足r(A k)=r(A k+1)的最小正整数.给定矩阵A∈Cm×n,其广义逆G[1-2]是满足下列4个方程中某些方程的矩阵

令Ø≠η={i,j,k}⊆{1,2,3,4},用Aη表示满足以上4个方程中的(i),(j),(k)方程的矩阵G的集合,Aη中的任何一个矩阵G称之为矩阵A的一个{i,j,k}-逆,记为A(i,j,k).若η={1,2,3,4},则称G为A的M-P逆,记为A+.EA=I-AA+,FA=I-A+A分别为A*,A的零空间上的正交投影.A∈C n×n的群逆[1]是指满足下列方程的矩阵G,记为A#.

矩阵的各种类型的广义逆在实际中都有广泛的应用.它们在概率统计、数学规划、控制论、测量学、博弈论和网络理论等领域都有极其重要的作用[2-3].同时在研究最小二乘问题、长方及病态线性方程问题、马尔可夫链等统计问题中也是一种基本的工具.广义逆应用的广泛性要求它自身理论发展不断地充实完善.

首先,给出矩阵乘法关于广义逆的交换律及广义交换律的定义.

定义1设A∈C n×n,Ø≠η={i,j,k}⊆{1,2,3,4}.对于X∈Aη,如果AX=XA,则称矩阵乘法关于X满足交换律.

定义2设A∈C n×n,Ø≠η={i,j,k}⊆{1,2,3,4}.对于X,Y∈Aη,X≠Y,如果AX=YA,则称矩阵乘法关于X与Y满足广义交换律.

为推导需要,给出下列引理.

引理1[1]设A∈C n×n,则下列各条等价:

2 矩阵乘法关于A(1)及A(1,j)的交换律成立的充要条件

定理1设A∈C n×n,则下列各条等价:

1.自治区级社会保险费征收机构。自治区社会保险事业局作为自治区社会保险费征收机构，为自治区人力资源和社会保障厅管理的相当副厅级全额拨款、公益一类事业单位。主要负责社会保险参保登记、费用征缴、权益记录、社会保险待遇支付的管理；负责自治区直属单位、中直企业、南宁铁路局的社会保险费征收以及自治区直属驻邕单位离休干部医疗保障业务的经办管理工作。

a.存在A(1)∈A{1},使得AA(1)=A(1)A;

b.存在A(1,2)∈A{1,2},使得AA(1,2)=A(1,2)A;c.r(A)=r(A2);

d.ind(A)=1;

e.R(A)∩N(A)={0};

f.R(A)⊕N(A)=C n;

g.A#存在.

证明a⇒c 若存在A(1)∈A{1}使得AA(1)=A(1)A,则在上式两端分别左乘A得A2A(1)=A,因而r(A2)≥r(A).同时r(A2)≤r(A).因此r(A)=r(A2).

c⇒ar(A)=r(A2)即ind(A)=1.由引理1知存在A#且AA#=A#A.显然A#∈A{1}.即存在A(1)∈A{1}使得AA(1)=A(1)A.

b⇔c 类似于a⇔c.c⇔d⇔e⇔f⇔g可由引理1直接推得.

定理2设A∈C n×n.则存在A(1,3)∈A{1,3}使得A(1,3)A=AA(1,3)=AA+当且仅当

证明由于AA(1,3)=AA+对任意A(1,3)∈A{1,3}成立,关于{1,3}-逆的交换律转化为是否存在A(1,3)使得A(1,3)A=AA+.后者等价于(A(1,3)A-AA+)=0.现计算这一极小秩.由式

(1)和式(3),得

定理3设A∈C n×n.则存在A(1,4)∈A{1,4},使得AA(1,4)=A(1,4)A=A+A当且仅当

证明由于A(1,4)A=A+A对任意A(1,4)∈A{1,4}成立,关于{1,4}-逆的交换律等价于是否存在A(1,4),使得AA(1,4)=A+A.而后者又等价于(AA(1,4)-A+A)=0.现计算这一极小秩.由式

(1)和式(4),得

文中考虑的是对某一个A(1,j),等式AA(1,j)=A(1,j)A是否成立.现研究对于X,Y∈A{1,j}且X≠Y,AX=YA成立的条件.

3 矩阵乘法关于广义逆的广义交换律成立的充要条件

定理4设A∈C n×n.则存在A-,A=∈A{1}使得AA-=A=A当且仅当r(A)=r(A2).

在定理1中,已经说明选择A#∈A{1}可以使AA(1)=A(1)A.事实上,作为一般性的证明方法,只需在定理4的证明过程中令B1=B2,C1=C2,D1=D2即为定理1的证明.

定理5 设A∈C n×n.则存在X,Y∈A{1,2}使得AX=YA当且仅当r(A)=r(A2).

因而关于{1,2}-逆的广义交换律与关于{1}-逆的广义交换律相同.

对于{1,3}-逆,设X,Y∈A{1,3},不论X与Y是否相等,总有AX=AY=AA+,因而关于{1,3}-逆的广义交换律等同于关于{1,3}-逆的交换律.{1,4}-逆的情形与{1,3}-逆相同.

定理7设A∈C n×n.则存在X,Y∈A{1,4}使得AX=YA当且仅当r(A,A*)=r(A2).

4 结 论

[1] BEN-ISRAEL A,GREVILE T N E.Generalized Inverses:Theory and Applications[M].New York:John Wiley&Sons,1974.

[2] 郭文彬,魏木生.奇异值分解及其在广义逆理论中的应用[M].北京:科学出版社,2008.

[3] 王松桂,杨振海.广义逆矩阵及其应用[M].北京:北京工业大学出版社,1996.

[4] TIAN Y G.More on maximal and minimal ranks of Schur complements with applications[J].Appl Math Comput,2004,152:675-692.

[5] TIAN Y G.Upper and lower bounds for ranks of matrix expressions using generalized inverse[J].Linear Algebra Appl,2002,355:187-214.

Commutative law and generalized commutative law of matrix multiplication on generalized inverse

LIYing1,2, GAOYan1, GUOWen-bin2
(1.Business School,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China;2.College of Mathematics Science,Liaocheng University,Liaocheng 252059,China)

The concepts of the commutative laws and generalized commutative laws of matrix multiplication on generalized inverse were defined.Using the matrix rank method and SVD,necessary and sufficient conditions about the commutative laws and generalized commutative laws of matrix multiplication on{1}-inverse,{1,2}-inverse,{1,3}-inverse and{1,4}-inverse were established respectively,and these conditions were compared between themselves.

{i,j,k}-inverse;group inverse;generalized Schur complement;matrix rank method;singular value decomposition;commutative laws

O 151.21

A

1007-6735(2011)04-0379-05

2010-04-12

国家自然科学基金资助项目(11171221)

李 莹(1974-),女,博士研究生.研究方向:系统分析,矩阵理论.E-mail:liyingld@163.com高 岩(联系人),男,教授.研究方向:混杂系统分析.E-mail:gaoyan@usst.edu.cn