分担集合的亚纯函数的正规性

刘克笑(湖南怀化学院预科部，湖南怀化418008)

分担集合的亚纯函数的正规性

刘克笑
(湖南怀化学院预科部，湖南怀化418008)

从分担值以及分担集合角度出发，研究亚纯函数与其高阶导数分担集合的正规性及亚纯函数与其一阶导数在分担集合情况下的正规定则，结果改正推广了前人的结果.

亚纯函数;分担值;高阶导数;正规族

定义1设f与g为D内的亚纯函数，a1，a2，a3为三个互相判别的有穷复数，我们称f与g分担集合S={a1，a2，a3}，如果

利用分担值理论研究亚纯函数的正规性是亚纯函数正规族理论研究的一个重要课题，这方面工作最早由W.Schwick开始研究［1］，后来国内许多数学工作者对这方面做了许多卓有成效的工作，得到了许多重要的结果［2－5］.

在2007年，刘晓俊和庞学诚证明了［6］

定理1设F为定义在D内的一族亚纯函数，a，b，c为三个互相相判别的有穷复数，如果对于任意的f∈F，f∈S={a，b，c}f/∈S，那么F在D内正规.

在2008年，刘克笑和庞学诚证明了［7］

定理2设F为定义在D上的一族亚纯函数，a，b，c为三个互不相等的有穷复数，如果对于任意f∈F，f(z)=af(k)(z)=a，f∈{b，c}f(k)(z)∈{b，c}，且f－a的零点重级至少是k，那么F在D内正规.

在2010年，刘克笑证明了［8］

定理3设F为定义在D上的一族亚纯函数，a，b，c为三个互不相等的有穷复数，如对于任意的f∈F，f(z)=aL(z)=a，f∈{b，c}L(f)∈{b，c}，且f－a的零点重级至少是k，这里L(f)=f(k)(z) +a1(z)f(k－1)(z)+…+ak(z)f(z)，a1(z)(i=1，2，…，k)在D内解析，那么F在D内正规.

本文继续研究亚纯函数分担二元集合的正规性，对亚纯函数族中的函数极点重数以及集合中的元素做一定的要求，得到了相应的结果.

1 相关引理

引理1［9］设F是单位圆盘D上的一族亚纯函数，如果对任意f∈F，f的零点重级至少是k，及f(z)=0，存在一个正数A，使得|f(k)(z)|A(A1)，那么如果F在D上不正规，存在:

(ⅰ)实数r，0＜r＜1;

(ⅱ)点列{zn}，|zn|＜r;

(ⅲ)函数列fk∈F;

(ⅳ)正数列ρn→0+，使得gn(ζ)=fn(zn+ρnζ)在C上按球面距离内闭一致收敛于一个非常数的亚纯函数g(ζ)，且g#(ζ)g#(0)=kA+1，g(ζ)的级至多是2.这里g#(ζ)=称为球面导数.

引理2设f是C上的亚纯函数，a是非零的有限复数，如果f只有有限多个零点，且Ef(0)= Ef(k)(a)，那么f是有理函数.

引理3设f是C上的亚纯函数，a1，a2是两个判别的有限复数，S={a1，a2}，如果f只有有限多个零点，且(0)=(s，f(k))，那么f是有理函数.

2 主要结果及证明

定理4设F为定义在D上的一族亚纯函数，令S={a，b}，这里a，b是两个互不相等的有限复数，如果对于任意f∈F，f的极点重数2，则满足下列条件之一，那么F在D内正规.

⑵E(S，f)=E(S，f(k))，且a+b≠0;

证明不妨设D为单位圆盘.若F在D上不正规，由引理1有，正数列ρn→0+，点列{Zn}，|Zn|＜1函数列fn∈F，使得gn(ζ)=fn(zn+ρnζ)在C上按球面距离内闭一致收敛于一个非常数的亚纯函数g(ζ)，且g(ζ)的极点重数至少是2，g(ζ)的级至多是2.

可以得到:

②{Gn(ζ)}在g(ζ)－a的零点不正规.

事实上，设存在ζ0使得g(ζ0)－a=0，若{Gn(ζ)}在ζn处正规，即存在{Gn(ζ)}的子列，不妨仍然记为{Gn(ζ)}.因为g(ζ)－a0，则由Hurwitz's定理，存在ζn→ζ0，使得fn(zn+ρnζn)= gn(ζn)=a.即G(ζ0)=0.由零点的孤立性，存在正数δ使得g(ζ)≠a在区域△δ={0＜|ζ－ζ0|＜δ}D上成立.因此对于任意的ζ∈△δ，对于充分大的n，有G(ζ)=∞，矛盾，所以断言②成立.

设ζ0是g(ζ)－a的一个零点，再次运用引理1，有:

可以断言:

③(ⅰ)F(t)仅有有限个零点;

(ⅱ)F(t)=0F(k)(t)∈S设ζ0是g(ζ)－a的k重零点，如果存在k+1个复数t1，t2，…，tk+1，使得F(tj)=0，j=1，2，…，k+1.

由于F(t)0，由Hurwitz's定理存在N，对于n＞ N，有Fn(tnj)=0，j=1，2，…，k+1.而gn(ζn+ηntn)－a=0且ζn+ηntnj→ζ0，则ζ0是g(ζ)－a的k+ 1重零点，矛盾，所以(ⅰ)成立.

可得H(t)≠0，H(t)≠∞，且H(t)是一个有理函数，于是H(t)是一个常数，这与F(t)是多项式矛盾.

设F(t)的次数q2，且qk，q＜k是不可能的.否则F(k)(t)≡0，这与珔E(S，f)=珔E(S，f(k))矛盾.当q=1时由上面的证明这是不可能的.

情形1 q3.

定理5设F为定义在D上的一族亚纯函数，令S={a，b}，这里a，b是两个互不相等的有限复数，如果对于任意f∈F，f的极点重数2，E珔(S，f)=E珔(S，f/)，f/(z)－a或f/(z)－b仅有简单零点，且na+mb≠0，这里m，n均为整数，则F在D内正规.

证明对定理4⑴中取k=1，由定理1⑴的证明，只须证明ab≠0的情形即可.证明方法与过程和定理4相似，不再重复.

［1］Schwick W.Sharing values and normality［J］.Arch Math，1992，59:50－59.

［2］Pang X C，Zalcman L.Normality and shared values［J］.Ark Mat，2000，3:171－182.

［3］Chang JM.A normal family of concerning shared value［J］.Science in china press，2009，4:399－404.

［4］Pang X C.Shared values and normal Families［J］.Analysis，2002，5:175－182.

［5］Pang X C，Zalcman L.Normality and shared values［J］.Bull London Math Soc2000，2:325－331.

［6］Liu X J，Pang X C.Shared values and noamal families［J］.Acta Math Sin－Chinese Ser，2007(2):409－412.

［7］LIU K X，Pang X C and Liu X J.Normality concerning higher derivative in meromorphic functions and shared values［J］.Journal of kashgar teachers college，2009，3:13－15.

［8］LIU K X.A Normal Family Of Concerning Shared Value［J］.Journal of Guizhou Normal Uniwersity(Natural Sciences)，2010，3:69－72.

［9］PANG X C.Blochand normal criterion［J］.Sci China ser A，1989，32:782－791.

(责任编辑:王宏志)

Abstract:Researching the problem ofmeromorphic functions and its higher derivative shared values，and using the idea of shared－set，we prove result on normal families ofmeromorphic functions that share setwith derivatives，which improve some result given by the predecessors.

Key words:meromorphic function;shared value;higher derivative;normal family

Normality of M eromorphic Functions Concerning Shared－set

LIU Ke－xiao
(Preparatory Department，Huaihua University，Huaihua，Hunan 418008，China)

O174.52

A

1008－7974(2011)04－0003－04

怀化学院青年基金(HHUQ2009－17).

2011－01－06

刘克笑(1973－)，湖南辰溪人，硕士，湖南怀化学院预科部讲师.