饱和地基中二维空沟远场被动隔振研究

时 刚，高广运

(1.郑州大学 土木工程学院，郑州 450002;2.同济大学 岩土及地下工程教育部重点实验室，上海 200092)

随着经济的迅猛发展，各种人工振动污染日益频繁，对邻近建筑物、精密仪器设备以及人们的生活影响越来越严重。国际上已把振动列为“七大公害”之一，因此，对各种人工振动污染的治理就成为当前急需解决的重要课题之一。在地基中设置隔振屏障是振动污染治理的一种有效方法［1]。与传统方法相比，屏障隔振具有造价低、不易损坏、耐久性好、施工简单以及可作为结构一部分等优点，因而被广泛地应用到工程实际中。

隔振屏障具有多种形式，其中，空沟具有设置简单、造价低、隔振效果好等优点，在隔振工程中应用较多。国内外众多学者对空沟隔振问题进行了大量的试验研究和数值分析。Woods［2]首先对空沟主动和被动隔振效果进行了一系列的现场全尺寸试验研究，并在大量试验的基础上提出了空沟屏障隔振设计的一些基本准则。此后，Haupt［3]、Ahmad 等［4]、Klevin 等［5]等也分别进行了一系列试验来研究空沟几何尺寸、空沟位置等参数对空沟隔振效果的影响，并给出了一些设计建议。而在数值研究方面，Haupt［6]、May 等［7]学者运用有限元法，Beskos 等［8]、Banerjee 等［9]、Al-Hussaini等［10]学者运用边界元法，分别对空沟主动隔振和被动隔振问题进行了计算分析。其中大多数的研究是针对均质弹性半空间，也有少量文献分析了层状地基中空沟隔振问题，例如，Leung 等［11，12]应用半空间 Green 函数分析了层状半空间屏障隔振问题;高广运等［13]采用薄层法半空间基本解作为Green函数的边界元法，分析了三维半空间中空沟振动隔振问题。

然而，上述研究均局限于弹性介质，未考虑饱和土地基的情况。我国东南沿海经济发达地区分布有较广泛的软土地基，这些地区地基土含水量较大，且往往处于饱和状态，若采用弹性介质来进行描述则会产生较大误差。对于饱和土中的隔振问题，徐平等［14]采用波函数展开法分析了单排非连续刚性桩屏障对弹性波的隔离问题;丁光亚等［15]则分析了管桩对倾斜入射弹性波的隔振问题。

本文针对均质饱和地基中二维空沟远场被动隔振问题，基于薄层法在研究饱和层状介质中波传播问题的高效性和边界单元法处理半无限域中土－结构动力相互作用问题的精确性，结合两种方法的优点，得到了以二维饱和半空间薄层法基本解答作为Green函数的饱和土二维频域半解析边界元法，对饱和地基中空沟的远场隔振效果及其影响因素进行了详细研究。

1 饱和土频域半解析边界元法

1.1 Biot波动方程

1.2 饱和多孔介质的边界元方程

饱和土的边界元方程可由相互作用定理(Reciprocal work theorem)导出［18，19]。

由相互作用定理可得饱和土的边界积分方程为:

式(2)所示的边界积分方程通常难以通过解析的方法进行求解，一般可采用类似于有限元的方法进行离散求解，从而形成了边界元法。

首先，将边界Γ离散成E个单元，单元中任意点的位移、孔压、面力和流量可以用单元节点对应量通过形函数来进行近似:

将式(3)代入边界积分方程(2)中，最终得到饱和土边界元方程为:

将全部边界节点按照顺序从1到N进行编号。节点n对应的面力、流量和土骨架位移、孔压分别记作:

令式(4)中面力、流量Tk和骨架位移、孔压Uk的积分系数分别为和，则式(4)最终可写成:

按照上述步骤，将对应于每个边界节点的边界积分方程(2)用边界单元积分之和表示，如式(6)所示。遍历所有边界节点进行同样的工作，这样，对于有N个边界节点的问题，将得到与N个边界节点位移、面力、孔压和流量相关的3N(二维)个线性方程:

式中，i，j=1，2，3(二维)。

上式即为饱和多孔介质的边界元方程。利用给定的边界条件，即将给定的边界节点上的位移、面力、孔压和流量代入上述方程组中，分离已知量与未知量及其相应的系数，得到可以求解的线性代数方程组，求解这个方程组即可得到所有边界节点上的未知量。

1.3 饱和多孔介质的半解析边界元法

研究饱和土地基的波动问题时，常规边界元法一般采用全空间动力Green函数。因此，在进行边界单元划分时，不仅需要在结构－土交界面上进行离散，还需要在半空间表面及不同土层的交界面上进行离散，从而大大增加了未知自由度的个数，导致计算时间和成本急剧增加，计算效率较低。此外，在半空间表面进行离散时，往往仅能在有限区域内进行单元划分，这也在一定程度上降低了边界元的精度。

为了减少未知量的个数，提高边界元的计算效率，采用饱和半空间(或饱和层状半空间)的位移、孔压基本解答作为饱和土边界元法的Green函数。这样，在分析上述问题时，只需要在土与结构物的表面进行离散，而不需要在半空间表面和土层交界面上划分单元，从而使边界元法更好地适用于饱和半空间的情况。

对于饱和层状地基，可采用传递矩阵法和薄层法(TLM)等方法来求解动力Green函数。其中，薄层法属于一种半解析半数值的方法［20，21]，即对 Biot波动控制方程在竖向进行类似于有限元法的离散，将土层划分为有限个薄层，而在其它坐标方向进行解析求解。由于薄层法基本解答本身就需要将饱和土地基划分为有限个薄层，对每一薄层分别赋予相应的材料参数进行集总。在分析层状介质时，几乎不增加任何工作量，即可得到层状介质的基本解答，因此特别适用于分析任意层数的层状介质相互作用问题。限于文章篇幅，本文不再给出饱和土地基的薄层法解答，可参考文献［22] 。

这样，通过在饱和多孔介质的边界元中引入薄层法基本解答，就形成了饱和多孔介质的半解析边界元法。一方面可以避免分析饱和半空间问题时需要在半空间表面和土层分界面上进行单元划分的问题，从而提高了计算效率;另一方面，薄层法求解Green函数时，Fourier逆变换(二维)不需要进行数值积分，且一次求解可获得各层面上位移、孔压值，若将薄层分界面与单元节点或Gauss点对应起来，可以大大提高计算效率。

2 饱和地基中空沟远场被动隔振研究

2.1 空沟远场隔振的边界元方程

空沟远场被动隔振的计算模型如图1所示。采用半解析边界元法进行空沟远场隔振计算时，由于采用薄层法Green函数，能够自动满足半空间表面边界条件，因而仅需要在空沟表面进行边界单元划分。本文采用二次单元对空沟表面进行划分，单元长度L=0.2 λR，其中，λR为饱和土地基Rayleigh波波长。

图1 空沟远场被动隔振示意图Fig.1 Open trench vibration isolation system as passive barrier

假定空沟表面共划分为E个单元、N个节点，则边界元方程可表示为式(7)的形式。对该式中的变量进行重新排列，有:

当考虑 Rayleigh波入射时，由于空沟对入射的Rayleigh波产生散射作用，在饱和地基中产生散射波，散射波也满足式(8)，此时有:

式中:位移、孔压、面力和流量上标“s”表示散射波。

考虑空沟表面透水的情况，其边界条件可表示为:

将式(10)和式(11)代入式(9)中，最终可得饱和地基中空沟对Rayleigh波散射的边界元方程为:

由于采用饱和半空间Green函数，半空间表面没有进行边界单元划分，因此，求解式(12)获得空沟表面位移和流量或孔压后，可按下式计算饱和半空间表面各点的散射波:

2.2 验证

引入衡量隔振效果的位移振幅衰减系数ARF，其定义为［23]:

由边界元方法求解得到半空间表面散射波位移Us，以及Rayleigh波入射所产生的位移Ui，最终有:

当饱和土的ρf→0和φ→0时，饱和土相应地退化成弹性介质的情况，因此可以采用退化的方法对空沟远场隔振的饱和土边界元程序进行验证。

Conter等［24]计算分析了二维弹性地基中空沟对瑞利波的远场隔振问题，给出了无量纲空沟深度h*=1.0(h*=H/λR，λR为 Rayleigh 波波长)、无量纲宽度w*=0.4(w*=W/λR)时，空沟前后由入射 Rayleigh 波引起的地面位移幅值。

图2为本文计算结果与Conter结果的比较。由图可知，空沟前位移幅值计算结果吻合较好，而空沟后位移幅值误差相对较大，这可能是由于单元划分以及退化不完全等因素所造成。

图2 二维空沟远场隔振的结果对比Fig.2 Comparative study for passive isolation by open trench

3 计算结果与分析

饱和土地基的基本计算参数如表1所示。

表1 饱和土地基的计算参数Tab.1 Mechanical parameters of saturated soil

为考虑饱和土体的材料阻尼作用，可采用复剪切模量来引入材料阻尼的影响。复模量的实部反映了土体的实际抵抗力，而虚部则反映了土体消散能量的机制。本文取饱和土体的材料阻尼为ξ=0.02。

在计算空沟远场隔振效果时，空沟几何尺寸采用无量纲化参量表示，即无量纲深度h*=H/λR和无量纲宽度w*=W/λR。在下述计算中，当考虑一种因素影响时，其他参数保持不变。

此外，为衡量空沟几何尺寸以及饱和土地基材料参数等对隔振效果的影响，这里引入平均振幅衰减系数AR，其定义如下:

式中，l'取屏障后5个Rayleigh波波长的距离。

3.1 空沟几何尺寸的影响

本节主要分析空沟深度和空沟宽度的影响，分析时均采用无量纲化的量表示。

3.1.1 空沟深度h*的影响

分析空沟深度对隔振效果影响时，空沟无量纲深度 h*分别取 0.4、0.6、0.8、1.0、1.2、1.4 和 1.6，计算结果如图3和图4所示。

图3 空沟深度不同时振幅衰减系数ARF随距离变化曲线Fig.3 Graphs of ARF for different trench depth h*

由图3可知，在饱和土地基中，空沟对入射Rayleigh波具有一定的隔振效果，与弹性地基不同，空沟后振幅衰减系数ARF随距离呈一种振荡变化的形式。此外，饱和半空间表面排水条件对空沟隔振影响较小，振幅衰减系数ARF随距离的变化曲线基本类似，仅量值上稍有差别，因此，在以后分析中仅给出饱和半空间表面不透水时的ARF曲线。

图4 空沟不同深度时的平均隔振效果ARFig.4 Effect of AR on isolation effectiveness

由图4可知，随着空沟深度的增加，空沟后平均振幅衰减系数迅速降低，这表明空沟深度对隔振效果影响较大;然而当空沟深度过1倍λR时，空沟平均隔振效果反而会有所降低，但降低幅度不大。此外，饱和半空间表面透水性对空沟平均隔振效果影响不大。

3.1.2 空沟宽度w*的影响

为分析空沟宽度对饱和地基中空沟隔振效果的影响，空沟无量纲宽度 w*分别取0.2、0.4、0.6 和 0.8，计算结果如图5和图6所示。

图5 空沟宽度不同时ARF随距离变化曲线Fig.5 Graphs of ARF for different trench width w*

由图5和图6可知，在饱和地基中，随着空沟宽度w*的增加，屏障后的平均振幅衰减系数AR有所增加，空沟隔振效果变差，但降低幅度不大;随着空沟宽度的进一步增加，空沟的平均隔振效果稍有提高，但提高幅度相对较小，这与弹性介质情况相同。与空沟深度的影响相比，空沟宽度对隔振效果的影响相对较小。

图6 空沟不同宽度时的平均隔振效果Fig.6 Effect of w*on isolation effectiveness

3.2 饱和土地基材料参数的影响

本节主要对分析饱和土渗透系数κ、泊松比v对隔振效果的影响。

3.2.1 渗透系数κ的影响

分析饱和土地基流体渗透系数κ对空沟隔振效果的影响，渗透系数 κ分别取1.0×10－7m4/N·s，1.0 ×10－8m4/N·s，1.0 ×10－9m4/N·s，1.0 ×10－10m4/N·s和1.0×10－11m4/N·s，计算结果如图7和图8所示。

图7 孔隙渗透系数κ不同时ARF随距离变化曲线Fig.7 Graphs of ARF for different pemeabilityκ

由图7和图8可知，流体渗透系数κ对空沟隔振效果有一定影响:当渗透系数较大时，空沟隔振效果相对较差;随着渗透系数的增加，屏障后平均振幅衰减系数 AR逐渐减低，空沟隔振效果有所提高，但提高幅度较小。此外，当饱和半空间表面透水时，渗透系数对空沟隔振效果的影响非常小。

图8 饱和土不同渗透系数κ时的空沟隔振效果Fig.8 Effect of pemeabiltiy κon isolation effectiveness

3.2.2 泊松比ν的影响

为分析饱和土地基的泊松比ν对空沟隔振效果的影响，ν分别取0.20、0.25、0.30 和0.35，计算结果如图9和10所示。

图9 泊松比ν不同时ARF随距离的变化曲线Fig.9 Graphs of ARF for different Possoin’ratio ν

由图9和图10可知，泊松比ν不同时，位移振幅衰减系数ARF曲线基本相似，这表明泊松比ν对空沟隔振效果影响较小。同样，随着泊松比 ν的增加，平均振幅衰减系数AR也随之增加，空沟隔振效果有所降低，但降低幅度非常小，这也表明泊松比ν对空沟隔振效果影响非常小。此外，饱和地基表面不透水时的平均隔振效果要稍差于表面排水的情况。

图10 饱和土不同泊松比ν时的空沟隔振效果Fig.10 Effect of Possoin’ratio νon isolation effectiveness

4 结论

本文在饱和多孔介质频率边界元法的基础上，建立了以饱和半空间薄层法(TLM)基本解为动力Green函数的半解析边界元法，并采用该方法计算分析了饱和地基中空沟远场隔振问题，推导了空沟远场隔振的边界元方程，最后，详细研究了屏障几何尺寸、饱和地基材料参数对空沟隔振效果的影响，主要结论如下:

(1)在饱和地基中设置空沟能够有效地降低屏障后的位移振幅;

(2)空沟的几何尺寸对其隔振效果有较大影响，增加空沟深度能有效地提高空沟的隔振效果，但深度超过1倍Rayleigh波波长后，空沟深度对隔振效果影响较为复杂;而空沟宽度影响相对较小，过大的空沟宽度并不能取得更好的隔振效果;饱和地基中空沟隔振规律与弹性介质相似;

(3)饱和地基的渗透系数κ、泊松比ν对空沟隔振效果影响不大;此外，饱和地基表面透水时的隔振效果要稍好于不透水的情况。

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