还有更好的方法吗?——一道习题解法的探究教学片段及思考

211900 江苏省仪征中学 花 奎

近日，我校高三一次练习试卷上有这样一道题：“已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c)·(b-c)=0，则

在上讲评课时，笔者就让一个此题做错的学生A(之前已让学生自己先订正)讲解题方法.

生A解(这里作为解法1)：

可设a，b为直角坐标系中x，y轴正方向上的单位向量，即 a=(1，0)，b=(0，1)，设 c=(x，y)，则

a-c=(1-x，-y)，b-c=(-x，1-y)

∵ (a-c)·(b-c)=0，

∴ (1-x)(-x)+(-y)(1-y)=0，即 x2+y2=x+y.

学生A的解法让笔者惊喜，说实在的由于批改后，发现此题的正确率很高，也没有多加研究.笔者本来是准备用后面的解法3解决的，学生A的解法着实让笔者眼前一亮.于是问：“解得很好!你能回答怎么想到的呢?”(笔者平时上课都喜欢让学生反思自已的思维过程)

学生A：“我注意到a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，所以就联想到x，y轴正方向上的单位向量，从而用坐标法来求解.”

教师：“你能告诉我们又怎么想到进一步使用基本不等式来求解的呢?”

学生A：“嗯，嗯……，我是听学生B说的……”.(他的回答让笔者大跌眼镜，其他同学也哄堂大学.)

教师：实是求是的精神还是值得我们学习的.请学生B回答.

学生 B：“老师，您讲过遇到 x2+y2，x+y，xy这样结构的式子要联想基本不等式，将等式转化为不等式就可以了.

笔者非常满意，给予了及时表扬.但还想让学生了解笔者的解法，于是又问：“还有什么解法吗?”

学生C举手，笔者让他回答.

生C解(这里作为解法2)：“我用三角换元法.”

学生C的回答也出乎笔者的意料，不免感叹学生的思维灵活.笔者也同样让他反思自己的思维：“笔者想中有两个变量，就想消元.您说过直接消元有困难时，可以考虑三角换元法”.

又是笔者以前说的思想和方法，不免有点兴奋.

于是又问：“刚才两位同学是用代数的方法解决的，我们是否还可以从形来解决呢?”

由于笔者的提示，指向很明确.不一会，学生D就说了他的解法.

这正是笔者课前准备的方法，正是千呼万唤始出来.同时，也庆幸没有直接说来，否则就没有前两个学生的精彩了，至此，可以说本题已大功告成(有代数方法又有几何的方法).准备评讲其它的试题……

意想不到的事情发生了，只听见“咚”的一声.只见学生E将头重重地砸在课桌上，又将笔死劲往桌上一摔，说：“烦死了!……”.(其它同学都将目光转向他，又转向笔者，开始窃窃私语，教室此时有点乱)

笔者很恼火，学生E太过分了，故意扰乱课堂秩序，很想教训他一顿.但是忍住了，因为学生E平时性格比较内向，易偏激.同时，新课程理念告诫笔者：“教师是学生亲密的伙伴，对学生在学习活动中的表现应给予充分的理解与尊重”.更何况笔者还没有了解发生了什么事?

教师：你有什么问题吗?如果有困难，老师和同学们会帮助你的……

学生E：没事!我只是认为刚才这题目的三种做法有点烦，觉得不太好!总觉得有更好的方法，可是，我搞了半天，也没弄出来，所以心里烦……(教室里顿时哄堂大笑……)

笔者也是啼笑皆非，但还是说：做不出来不要紧，课后再想想!本想安慰安慰他，就继续下面的课堂教学.

谁知，又有一个“冒失鬼”学着我平时的腔调：“说说看，你是怎么想的?”

一句话惊醒梦中人.还没有知道学生E的惑是什么，就准备草草收兵吗?难道就怕完成不了教学任务了吗?而忽视生成吗?笔者从心里感谢这个“冒失鬼”.

于是，顺水推舟：“也是呀，你说说你的想法，让我们共同来想想.”

生E解(这里作为解法4)：

设向量 c与 a，b的夹角分别为 α，β，α∈［0，π］，β∈［0，π］.

∵a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，

由(a-c)·(b-c)=0 得 a·c+b·c-c2=0，

学生E说到这里，又开始急躁起来：“可是这里有两个变量，怎么弄也弄不出来……”

是呀!多好的想法呀!新课程要求能关注学生的生活世界和学生的独特需要，促进学生有特色地发展;为学生的终身学习愿望和能力的形成打下基础，促进学生的可持续发展.现在学生E多么需要我们和他合作决这一问题啊!

此时，笔者心中充满矛盾和紧张.继续解决这个问题吧，心中一点底都没有，害怕挂黑板，如果解决不了，怎么办呢?不解决这个问题吧，这节课还有上下去的意义吗?师者，传道授业解惑也!

兵法有云：“置死地而后生”，更何况特级教师张乃达曾给笔者讲的一句话“做好老师就不要怕挂黑板”，笔者决定豁出去啦!只要对得起学生就行!

凭笔者解题的经验，这里的变量α，β必然有着某种关系.首先试探着把问题抛给学生：“同学们，学生E提出了一个问题，这里有两个变量，能不能消去一个变量呢?变量α，β是不是有着某种关系呢?这是一个值得研究的问题，我们一块来研究，看谁最先研究出来?(这样做，不仅给了学生充分的思考空间，相信学生会有好的想法;同时，更给了笔者时间余地，走出窘境.)

学生们一听说老师要他们比赛，立刻来劲了.

笔者一边思考，一边看学生们求解演算.当看到一个学生所画图形(如图2)时，突然顿悟，心中已有底，但不露声色，要让学生自己发现.

学生F举手回答：

∵a，b是平面内两个互相垂直的向量，

教师：太好了，学生 F找到变量α，β的关系，但是他的考虑全面吗?

学生有的陷入了沉思，有的进行激烈的讨论.

过了一会儿，学生G举手站起来，说出了以下解答：

∵a，b是平面内两个互相垂直的向量，

这一解法和笔者的想法吻合，笔者引导学生反思这个思维过程……

未等笔者说完，学生H也不举手就站了起来(此时师生已完全进入共同探讨的状态，忘记要举手)说：我还有一种解法……

笔者不禁一愣，居然还有解法，也有些激动：“说说看!”

学生H说出了以下解法：

解法5 ∵a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，∴ a·b=0，由(a-c)·(b-c)=0，得(a+b)·c-c2=0，

笔者不禁拍案叫绝，也引来学生片片喝彩……

反思上述教学片段谈谈想法：

(1)数学课堂应是一种对话交流

巴西教育家保罗.弗莱雷说：没有对话，就没有交流，也就没有真正的教育.新课程要求教学是平等的、民主的，要构筑起共同探讨的学习环境;新课程还指出教师是学生亲密的伙伴，对学生在学习活动中的表现应给予充分的理解与尊重.因此，在课堂上，教师要注意倾听，理顺学生的思维过程，解学生学习中疑难问题，注意发现问题，引导学生合作探究.允许学生发散想象，鼓励学生大胆提出问题和质疑，和学生共同讨论.课堂教学应当是一种充满活力的对话实践;营造一种活动性、合作性、反思性的学习氛围.

(2)不要怕“浪费”时间

不少教师在数学课堂上为了提高所谓的“教学效率”，课堂表现是“快节奏，大容量”，害怕浪费时间，一讲到底.导致学生学习变得繁重而被动;数学课堂更是紧张、枯燥无聊，低效.而新课程背景下要求教师要培养学生自己找“路”的能力，让学生做“司机”，而不是“乘客”.教师做一个“指路人”，在学生迷路时，给予指点、点拨.学和行走的过程中，路边的风景，正是学生找到回路的标志，因此课堂上学生的活动看似耽误了时间，但对学生来讲是需要的，那是找到回路的“标志”，走错路，记忆才会深刻.让我们记住关于教育的一句世界名言——告诉我，我会忘记;分析给我听，我可能记住;如果让我参与，我会真正理解.

(3)鼓励学生探究发现

苏霍姆林斯基说：在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探究者.数学课程标准也明确指出：“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识.”数学探究是学生学习心理回归，是数学教学的学术的回归，它有利于学生深入理解数学知识，把握数学思想方法，提高数学探究的能力.因此，在教学中要鼓励学生探索发现.