注重基础 稳中求新 凸显能力——浙江省绍兴市近三年中考数学试题的特点及启示

312352 浙江华上虞市竺可桢中学 徐 骏

注重基础 稳中求新 凸显能力
——浙江省绍兴市近三年中考数学试题的特点及启示

312352 浙江华上虞市竺可桢中学 徐 骏

2011年是浙江省绍兴市全面推广浙教版课标教材后的第三次自主命题,试题在突出能力立意的基础上,创新的氛围更加浓郁,富有鲜明的时代气息.本文就近三年的浙江省绍兴市中考数学试题的特色进行分析,并得到一些启示.

1 近三年试卷的特点

特点1 在命题思路、考查内容、题型结构等方面,和往年试题保持了一定的连续性和稳定性

试题结构保持不变,全卷共24道题,分选择题、填空题、解答题三种题型.第一大题(选择题)10个小题共40分,第二大题(填空题)6个小题共30分,第三大题(解答题)8个小题共80分,全卷满分150分.其中,选择题是四选一型的单项选择题;填空题每小题只有一个空,要求直接填写结果;解答题包括计算题、证明题和应用题等,解答必须写出文字说明、演算步骤或证明过程.题目的编排由易到难,循序渐进,遵循考生的认知规律,三种类型题的最后一题为把关题,有一些难度.

从近三年来绍兴中考数学试卷可以看出,试题注重对数学基础知识和基本技能的考查,贴近初中数学的教学实际,没有出现偏题和怪题,总体难度适中,整体趋向于平稳,在平稳中有效地考查了学生的数学思维能力和解题能力.另外,试题注重对数学学科核心内容的考查,内容涉及“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合运用(课题学习)”四个学习领域.知识点的考查既注意全面,又突出重点,注重知识内在联系的考查,注重对初中数学中所蕴涵的数学思想和方法的考查.对比三年的中考试卷,我们不难发现,浙江绍兴中考已经形成一套相对稳定的知识点结构,如下表所示：

考查内容题序2009年 2010年 2011年题______型____1 合并同类项,幂的运算 相反数的意义 相反数的意义____2 科学记数法的表示方法 简单组合体的三视图 科学记数法的表示方法____3 反比例函数图象上点的坐标特征 垂径定理,勾股定理 角平分线的定义,平行线的性质____4 数轴上两点间的距离 科学记数法的表示方法 简单组合体的三视图____5 由三视图确定几何体的形状 分式的加减运算 等腰三角形的性质,圆周角定理6 三角形中位线定理,图形折叠___________的性质 方差的意义 垂径定理,勾股定理选择题7 统计量的选择 一次函数的应用(函数图象的________________________________________读图能力) 概率公式的应用8 利用列表法或画树状图法求___________简单事件的概率 平行四边形的判定与性质 线段垂直平分线的性质9 直线与圆的位置关系,垂径定___________理,勾股定理 反比例函数值的大小比较 一次函数的应用(函数图象的读图能力)10求将阴影部分的面积(结合一次函数的图象转化成三角形的面积来计算)直线与圆、圆与圆的位置关系,勾股定理相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质

续表

特点2 关注数学基础内容的考查,注重学生对基础知识的理解和应用,强调了初中数学课程的基础性、普及性

由于中考采用两考合一的形式,首先要强调的是它的水平测试功能,必然面向全体学生,体现《全日制义务教育数学课程标准》(实验稿)(以下简称《标准》)所倡导的“人人学有价值的数学,人人都能获得必需的数学”这一基本理念.

例1 (2010年第15题)如图1,做如下操作：在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于点 D.将△ABD作关于直线 AD的轴对称变换,所得的像与△ACD重合.对于下列结论：

①在同一个三角形中,等角对等边;

②在同一个三角形中,等边对等角;

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合.

由上述操作可得出的是_________(将正确结论的序号都填上).

图1

点评 本题出自浙教版课标教材八年级上册第26页,在已有轴对称学习基础上是通过操作探究等腰三角形的性质.让我们重新审视折叠的过程：由AD平分∠BAC,得∠BAD=∠CAD.当把图形沿直线AD对折时,射线AB与AC重合,由于AB=AC,于是点B与点C重合,故△ABD与△ACD重合,所以△ABD≌△ACD,从而得到 BD=CD,∠B=∠C,∠ADB=∠ADC=90°,即 AD⊥BC.从操作过程没有体现角相等,边就相等,故①不符合;因为AD平分∠BAC,BD=CD,AD⊥BC,故②,③均符合.有相当数量的学生由于平时不重视数学知识获取过程中的理解,想当然的认为这三个结论都是正确的,这一出乎意料的结果为我们的教与学再次敲响了警钟.

特点3 突出对数学活动过程的考查,强调了“用数学,做数学”的应用意识

“数学教学”实质是“数学活动的教学”,既包含了“数学”,又凸现了获得结果的“活动”,体现了过程与结果的统一.

图2

点评 本题取材新颖,构思巧妙.从考生熟悉的背景中引出问题,涉及的知识点虽不多,但考查的数学思想方法却不少.学生要通过画示意图来探究发现其中隐含的点与数的对应关系：第一次操作后,恰好被拉到与1重合的点所对应的数为=2-1.第二次操作后,恰好被拉到与1重合的点所对应的数为,,它们的和为1=20.在此基础上继续思考,可以发现：第三次操作后,恰好被拉到与1重合的点所对应的数为,它们的和为2=21.由此,可以推出第n次操作后,恰好被拉到与1重合的点所对应的数的为它们的和为2n-2.这是一道思维含量较高的数学建模题,类似试题的出现,使得题海战术失去了市场,真实地考查了考生的探究能力.由于没有现成的解题模式可供借鉴,考生若没有一定的抽象思维能力和阅读理解能力,要解决这个问题是有一定难度的.

例3 (2011年第10题)李老师从“淋浴龙头”受到启发,编了一个题目：在数轴上截取从0到3的对应线段AB,实数m对应AB上的点M,如图3;将AB折成正三角形,使点A,B重合于点P,如图4;建立平面直角坐标系,平移此三角形,使它关于y轴对称,且点P的坐标为(0,2),PM与 x轴交于点N(n,0),如图5.当m=3时,求n值.你解答这个题目得到的n值为

特点4 重视数学与现实生活的联系,强化应用意识

《标准》特别强调数学背景的“现实性”和“数学化”.倡导能用数学眼光认识世界,并能用数学知识和数学方法处理解决周围的实际问题.近几年中考考查应用能力的试题均能结合社会热点来设计,以学生熟悉的现实生活为问题的背景,试题取材于生活背景,并多以图表信息题的形式出现,凸显着试题的教育价值.

例4 (2009年第23题)如图6的矩形包书纸示意图中,虚线是折痕,阴影是裁剪掉的部分,四角均为大小相同的正方形,正方形的边长为折叠进去的宽度.

(1)如图7,《思维游戏》这本书的长为21cm,宽为15cm,厚为1cm,现有一张面积为875cm2的矩形纸包好了这本书,展开后如图6所示.求折叠进去的宽度;

(2)若有一张长为60cm,宽为50cm的矩形包书纸,包2本如图7中的书,书的边缘与包书纸的边缘平行,裁剪包好展开后均如图6所示.问折叠进去的宽度最大是多少？

图6

图7

点评 本题以学生比较熟悉的包书皮为背景,贴近学生生活实际,契合了当今社会倡导低碳生活的形势,将建模思想等巧妙置于其中,既体现了数学的实用性,又让学生感受到数学就在身边,并产生了积极的情感体验.解答该题须要对题目有正确的解读,注意区分第(1)小题“正好包好”和第(2)小题“裁剪包好”两种语言的差异,选择合适的数学模型,如：第(1)小题选择方程模型,第(2)小题选择不等式模型.第(2)小题需要考虑到两本书在同一张自纸上的各种不同摆放情况,主要考查学生分类讨论的数学思想和灵活运用知识的能力,充分激发了学生的探究欲望,拓展了学生的思维空间,能较好地区分各类学生的数学思维水平和建模能力.

特点5 着力于学习能力的考查,强调初中数学课程的发展性

数学学习能力不仅反映着学生对既学知识掌握的情况和程度,更体现着学生的数学学习潜能.因此重视对数学学习能力的考查,已经成为当前中考的热点.近三年来中考试卷都出现了一定量的开放性、探究性试题,这类试题突出了对教学本质和思想方法的考查,让学生思维有更广阔发挥的空间和较大选择的自由度,能很好地培养学生的探究精神、创新意识和发散思维.

例5 (2011年第23题)数学课上,李老师出示了如下的题目.

在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且 ED=EC,如图8,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由.

小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答：(1)特殊情况,探索结论

图8

当点E为AB的中点时,如图9,确定线段AE与BD的大小关系.请你直接写出结论：

AE_______DB(填 “ ＞”,“＜”或“=”)

(2)特例启发,解答题目

解 题目中,AE与BD的大小关系是：AE_______

图9

DB(填“＞”,“＜”或 “=”).理由如下：如图 10,过点 E作EF∥BC,交AC于点F,(请你完成以下解答过程)

(3)拓展结论,设计新题

在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC 上,且 ED=EC.若 △ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).

点评 本题以等边三角形为载体,通过点E在直线AB上的位置改变为手段,在三角形中利用添加辅助线构成全等形进而构成相似形,完成从合情推理到演绎推理的转变.主要考查对全等三角形的性质和判定,三角形的内角和定理,等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.第(1)小题起点较低,先求出∠D=∠DEB=30°,推出DB=BE=AE即可;第(2)小题由于已经有了作图提示,学生很容易想到先去证出△AEF为等边三角形,并且证明△DBE≌△EFC也有多种途径可供选择;第(3)小题要分为两种情况：

图10

图11

图12

解答此小题若直接引用第(2)小题的结论“AE=BD”,得出结果则更快一些.在近三年的中考试卷中,第23题始终将培养学生自主学习的能力作为目标,利用探究性试题进行压轴成为试卷的特色之一.本题先证明“AE=BD”在“点E为AB的中点”这一特殊情况下成立,再改变问题的条件,让学生探讨在“点E在AB上”时原来的结论是否还成立,进一步联想提出新的问题,即将条件“点E在AB上”再次拓展成“点E在直线AB上”,这种采用分层递进的方式探究相关线段间的大小,实现特殊到一般的思想(全等到相似)的数学领悟,较好地考查学生的知识迁移能力和解决问题的能力.

特点6 突出了对数学本质和数学思想方法的考查,体现学业考试的选拔功能.

通过分析、对比、研究近三年中考数学试卷,发现中考压轴题(第24题)考点主要集中在二次函数、几何变换、特殊三角形(四边形)的综合应用上,试题具有较强的区分度,较好地测试了考生的数学素养和进入高一级学校的学习潜能,有利于不同层次的学生发挥出自己的真实水平,有利于高一级学校选拔新生.

(1)如图13,求点A的坐标及线段OC的长;

(2)点P在抛物线上,直线PQ∥BC交x轴于点Q,连接BQ.

①若含45°角的直角三角板如图14放置,其中,一个顶点与点C重合,直角顶点D在BQ上,另一个顶点E在PQ上,求直线BQ的函数解析式;

②若含30°角的直角三角板一个顶点与C重合,直角顶点D在直线BQ上,另一个顶点E在PQ上,求点P的坐标.

图14

图13

点评 本题以平面直角坐标系为载体,立足二次函数这个主干知识,赋予运动变化的背景,融合了转化思想、分类思想、数形结合等数学思想,是一道综合性较强的题目.试题设置的三个问题的设计由浅入深,层层递进.第(1)小题为基础题,绝大部分学生能根据二次函数的解析式确定点的坐标和抛物线的对称轴,得分率较高;第(2)小题的第①问有一定的难度,从等腰直角三角形CDE这一特殊位置入手,结合全等三角形的性质(过D作 DM ⊥x轴于 M,作 DN⊥PQ于 N,则△DCM∽△DEN)判断四边形DMQN为正方形,从而求点Q的坐标,确定直线BQ的函数解析式;第(2)小题的第②问对学生的思维能力提出了较高的要求,分化现象较为突出,部分学生无从下手,可能是时间比较仓促,也可能一时找不到解题思路,画不出相应的图形.要正确解答此问,需要越过两道坎：其一是“含30°角的直角三角板一个顶点与C重合”应考虑“∠DCE=30°”和“∠DCE=60°”两种情况,其二是点P的位置应考虑“点P在对称轴的右侧”和“点P在对称轴的左侧”两种情况.遗憾的是,相当多地考生思维不够缜密,普遍存在着两类漏解的现象：如图15,一类是未考虑对称性仅求出点P1,点P3的坐标,另一类是虽考虑对称性但对“含30°角的直角三角板一个顶点与C重合”的理解存在缺陷仅求出点P1,点P2的坐标,能完整解答出四个点坐标的学生寥寥无几,学生的运算和推理能力在此得到了有效的甄别.

图15

2 试题的启示

2.1 整合教材资源,打好“基础”这张牌

教材中丰富的例(习)题是中考试题的“故乡”,有些试题在教材中找得到原型,有些试题则是对教材例(习)题的改编、延伸和拓展.因此,必须重视基础知识的教学,夯实基础才是上策.

2.2 注重通性通法,加强数学思想方法教学

数学思想,是对数学知识和方法的本质以及规律的理性认识,是解决数学问题的灵魂和根本策略,直接支配着数学的实践活动.常用的数学思想有：数形结合思想、分类讨论思想、整体与换元思想、方程与函数思想、转化与化归思想、特殊与一般思想等.如：我们用数轴这一直观形象来揭示“绝对值”这个概念的的内涵,从中渗透数形结合的思想.又如“二次根式的加减运算”采用类比“整式的加减运算”的手段,实现从未知到已知的转化.

数学方法,是解决数学问题的根本程序,是数学思想的具体反映.常用的数学方法有：配方法、换元法、消元法、待定系数法等.教师在教学中要在常规解题方法的教学上多下功夫,有针对性地落实相应的解题方法.重视一题多解和一题多变,这样学生就有了更多的方法与手段,能在比较短的时间里确定合适的解决问题的方法,能够举一反三、一法多用.

2.3 加强过程教学与教法指导,引导学生开展自主探索,提升数学素养

数学教学是一种“过程教学”,它既包括知识的发生、形成、发展过程,也包括人的思维过程,要处理好知识的“强化”与“内化”的关系.在教学中,要适时地给学生制造一些思维受阻的情境,让学生在观察、实验的活动中,通过比较、分析、归纳、类比、抽象等思维过程,完成对所学知识的理解和解题策略的选择,要根据学生现有的认知发展水平,有目的、有计划地设计一些探索性和开放性的问题,以引发学生的探索热情,激发学生主动学习.

要倡导学生进行解题后的反思,如：命题者的意图是什么？解决这个问题有没有最佳的方法？如果这个问题的结论或条件适当开放,我还能继续做吗？要让学生知道,如何去思考和解决一个数学问题,这才算得上是高效的.在平时的综合题教学中,要锻炼学生克服困难的勇气和毅力,使他们在碰到此类型题目时能冷静处理,进行有条理的思考,寻找解题的途径和方法.

2.4 强化应用意识,关注学生的个性发展

要根据学生自主学习存在的差异,使每一位学生在力所能及的范围内学习更多的知识,使他们在原有的基础上都有得到发展和提高.具体地说,可采用的策略是：对于水平较高的学生应采用“放”的方式,为他们提供更为广泛的独立思考时间和空间;对于中等生采用“激”的方式,为他们提供要求适中的问题,逐步养成独立思考的习惯;对于学习能力较差的学生则采用“诱”的方式,为他们提供适度的帮助,多给一些鼓励和启发,促进他们形成独立思考的自我意识.

1 杨新华.例谈中考数学命题的特点及对教学的启示[J].中学数学,2011,4

2 韩春见.从2009年中考数学看2010中考数学命题趋势[J].中学数学,2010,6

3 徐骏.在培养学生自主学习中教师应担当的角色[J].初中数学教与学,2006,8

20110723)