例谈中考阅读题中的相似问题

210019 南师大附中新城初中 何君青

例谈中考阅读题中的相似问题

210019 南师大附中新城初中 何君青

《新课标》中明确指出数学在应用方面需要大力加强,鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径,使他们经历知识的形成过程.创新型阅读试题是考查学生数学能力的最好题型之一,它对考察学生的阅读理解能力、知识迁移能力、类比猜想能力、数学探究能力、数学创新意识等都有良好的作用.本文列举几例创新型阅读题相似问题的应用.

1 相似问题中的相似点、强相似点

相似是初中数学体系中的重要内容之一,它有着丰富的背景,它既是空间与图形研究的对象,又是数与代数研究的对象,是集“数、形”于一身的数学概念.在中考中有着不容忽视的地位,常与圆、特殊四边形、二次函数等众多中考热点、难点结合.相似三角形是其主要考查点,既可以单独考查,也能与很多知识结合考查.

例1 如图1,在四边形ABCD的AB边上任取一点E(点E不与点A、点B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成3个三角形.如果其中有2个三角形相似,我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点;如果这3个三角形都相似,我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点.

问题1 若图1中,∠A=∠B=∠DEC=50°,说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点;

分析 本题题目给出了相似点的概念,是以往没有接触过的知识点,但阅读后发现只要证明出相似就可以得到相似点,将未知转化为已知,体现数学的类比思想、转化思想.

∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点.

图1

问题2 (1)如图2,画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点.(要求：画图工具不限,不写画法,保留画图痕迹或有必要的说明.)

(2)对于任意的一个矩形,是否一定存在强相似点？如果一定存在,请说明理由;如果不一定存在,请举出反例.

分析 本题题目给出了强相似点的概念,类比相似点,本问第(1)小问即要作出一点使其划分的三个三角形均相似,此处与相似概念、圆中“直径对直角”结合,体现了数学知识的紧密联系以及数学中的转化思想.

解 (1)以CD为直径画弧,取该弧与AB的一个交点即为所求.

(2)对于任意的一个矩形,不一定存在强相似点,如正方形.

问题3 在梯形ABCD中,AD∥BC,AD ＜BC,∠B=90°,点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点,判断AE与BE的数量关系并说明理由.

分析 本题未给出图,对于很多学生而言难以解答,这就是创新型阅读题考查学生数学能力的体现,而且从题目中可知强相似点只能说明划分的3个三角形均相似,但并未给出三角形各顶点如何对应,这是学生易漏解的地方,本题考查了学生的综合数学能力以及分类讨论的思想.

图2

解 第一种情况(如图3).

图3

图4

2 相似问题中的自相似点

2011年南京市中考试题第27题考查了“自相似点”的知识,题目先给出了自相似点的概念,随后让学生利用此概念解决了几个相关问题,虽然此题难度不大,但得分率不高,主要原因是很多考生未能读懂题意,或者平时在“题海训练”下,没有亲历过自主探究的过程,遇到创新阅读题会费时,心理紧张,全部成功解决的概率大大降低.

例2 (2011年南京)如图5,P为△ABC内一点,连接PA,PB,PC,在△PAB,△PBC和△PAC中,如果存在一个三角形与△ABC相似,那么就称P为△ABC的自相似点.

图5

问题1 如图6,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ACB ＞∠A,CD 是AB上的中线,过点B作BE⊥CD,垂足为E,试说明E是△ABC的自相似点.

分析 第1问难度不大,学生根据题目便知道只要满足以E点为顶点的一个三角形与△ABC相似即可,但找准这个三角形是关键,创新型阅

读题要将平时获取新知过程中所积累的经验与方法,加以充分运用.

解 在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD 是AB上的中线,

图6

(1)如图7,利用尺规作出△ABC的自相似点P(写出作法并保留作图痕迹);

(2)若△ABC的内心P是该三角形的自相似点,求该三角形三个内角的度数.

分析 虽然本题难度并不大,但是对于一个全新的知识要让学生在有限的时间内完全理解,并写出完整、准确的解答是需要有一定的数学素养及能力的,这源于平时的积累,要求学生平时就具备较高的思维能力、探究问题能力和合情推理的能力,本题立足于教材,全面考查了学生的数学素养.

解 (1)作法如下：

图7

1 涂荣豹,季素月.数学课程与教学论新编.南京：教育出版社,2007

2 章士藻.中学数学教育学.南京：江苏教育出版社,1996

20110725)