题目真的超纲了吗

430030 武汉市教科院教研室数学 胡 顺

题目真的超纲了吗

430030 武汉市教科院教研室数学 胡 顺

湖北教育出版社出版的义务教育课程标准实验教科书《练习册》,2008年秋季学期八年级数学(上)第三章第二节中有一道思维训练题.

如图1,将Rt△ABC沿斜边AB向右平移5cm,得到Rt△DEF.已知 AB=10cm,BC=8cm,求图中阴影部分的周长.

很多地方的学生在做此题时,数学成绩比较好的学生都只写出了正确答案是12cm,没有给出解答过程,问这些学生的答案是怎么得来的,学生都回答是猜的.老师们都评学生是对的,理由是：这道题目超纲,

图1

要到八年级下册学过相似图形的性质过后才能给出解答过程,所以在这里学生猜出正确的答案就可以了.

笔者对此题的解法做进行探究,给出以下两种解法,供同行们参考.

分析1 设BC与DF相交于点 G,连接 CF,考虑证△BDG≌△CFG.

解 如图2,设BC与DF相交于点G,连接CF.

∵Rt△ABC沿斜边AB向右平移5cm得到Rt△DEF,

图2

∴阴影部分(△BDG)的周长为：3+4+5=12(cm).

点评 这一解法是笔者在听公开课上与学生共同研究得出的,可能也是命题人希望的解法.解答过程中充分运用了图形平移的性质：经过平移,对应点的连线段平行且相等,对应线段相等.此外还用到三角形全等的判定方法,具有一定的综合性,对八年级的学生来说有一定的难度,但不失为考查学生运用平移的性质分析解决问题和训练学生思维的好题,由此看来,题目根本就没有“超纲”！事实上还能进一步研究.

分析2 设BC与DF相交于点G,注意到图中的四边形ADGC和四边形EBGF都是直角梯形,且它们的面积相等,故可考虑用面积方法求解.

解 设BC与DF相交于点G,四边形ADGC和四边形EBGF都是直角梯形,则有

图3

点评 这种解法综合利用了平移的性质、梯形的面积公式及勾股定理,并渗透了方程组的思想,思路比较独特,学生是能够接受的,面积方法推理解题本来就是一种常见的方法,读者注意体会这一解法.

下面再举一个跟此题基本一致的例子.

如图4,将Rt△ABC沿直角边AB向右平移2个单位长度至△DEF,如果 AB=4,∠ABC=90°,且△ABC的面积为6,试求图中阴影部分的面积.

分析1 由题意,可求得BC=3.连接CF,由平移的性质及题设条件证△BDG≌△CFG,进而求得BG的长,便可求出阴影部分的面积.

解答过程(略).

分析2 利用梯形ADGC与梯形BEFG的面积相等求解.

图4

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