有限元中索单元的研究及应用进展

郑平芳

0 引言

索结构是一种常用的结构，具有外观优美，强度高，结构轻等特点，近年来在大跨度桥梁、无障碍拱结构中得到了大量的应用[1］。然后，索结构由于在实际应用中垂度大，具有高度非线性，给结构分析带来了很多的困难。近年来，随着计算能力的提高以及计算方法的不断发展，有限元模拟已成了结构分析中的一个重要手段，但是由于索结构的高度非线性，会产生精度不够、收敛困难等问题。近三十年来，很多学者提出了不同的解决方法和单元构造形式，它们大致可以分为以下三类:

1)直杆(桁架)单元;

2)等效法:包括等效弹性模量、等效应力应变关系等;

3)基于悬链线的索单元。

本文将首先对这三类主要的方法和单元进行一个较为系统的综述，并对目前常用的有限元分析软件中索结构的分析方法进行一个简单的介绍，在此基础上，归纳总结了索单元构造中所急需解决的几个问题，并对采用基于一类新型梁理论构造索单元的可行性进行一个初步的探讨。

1 杆单元

由于索结构横截面尺寸远远小于索长，在通常分析中不考虑索结构在垂直于索长方向的弯曲、剪切等影响，即只考虑沿索长方向的拉伸。杆单元作为有限元中最简单的一类单元，恰可用以表征沿轴向的拉伸变形，因此早期索结构分析中就常采用类似于杆单元的有限单元形式[2，3］。

目前在实际应用中，较为常用的两种应用形式是采用多段杆单元[4］和多节点杆单元的方法[5］，前者需要将悬索划分为若干杆单元，且为了满足精度要求，需要对单元矢跨比有一规定，通常会导致较多的单元和自由度，而后者虽然需要的单元数相对较小，但由于采用了高阶插值，通常形式较为复杂，且单元间的连续性条件通常不能得到满足。另外，需要特别注意的是，不论采用哪种形式，由于杆单元不能承担弯曲载荷，用常规的迭代方法模拟由初始状态到工作状态经常会遇到收敛困难等问题，因此往往需要预先假定一个合适的初始构型，这也往往会给分析带来很多的不便。

2 等效法

等效法最初同样源于杆单元，二节点杆具有形式简单，计算效率高的特点，采用单个二节点杆单元来简化一条悬索，能大大地提高计算效率，在计算机技术、计算能力还不十分强大的二十世纪八九十年代，具有巨大的意义和价值，然而这样的简化不能考虑垂度的几何非线性影响，由此很多学者提出了各种等效的方法。

目前在国内工程界，采用较为广泛的是由Ernst所提出的等效弹性模量法[6］，也有一些国内学者基于类似的转化思想提出了一些等效应力应变方法[7］，这些方法的主旨都是将复杂的几何非线性问题转化为材料非线性问题处理。

这些等效的方法在一定范围内，特别是内力较大而垂度不十分大时，能得到较好的预报结果，满足一般工程的需要。然而由于等效的方法没有能精确地考虑几何非线性的影响，在处理特殊情况，特别是垂度较大，几何非线性明显的问题时，往往需要特别的考虑。

3 基于悬链线的索单元

基于悬链线的索单元[1，8，9］是一种基于悬链线方程的精确理论解而构造的索单元，相比于一般有限元单元采用多项式插值函数来模拟变形，悬链线本身就能很好地表征悬索在自重下的悬垂形态，因此，即使采用很少的单元，例如对一条悬索仅采用一个悬链线索单元，也能够达到令人满意的结果。

由于悬链线索单元所具有的这一优异性能，很长一段时间甚至直至现今，依然是索单元开发和研究的主要方向之一，然而悬链线索单元本身也具有一些缺点:1)悬链线本身是对悬索静态悬垂状态的模拟，但如果在复杂载荷情况下，特别是动力学分析中，悬索不再是悬垂状态，这时如继续采用悬链线单元，精度不可避免地会受到影响;2)悬链线单元与单元之间只能满足C0连续，不能满足C1连续条件，因此通常对一条悬索只能采用一个索单元来模拟，不能很好地通过增加单元数的方式来提高精度。

4 通用有限元软件中的应用

在大部分常用的商用有限元软件，如ABAQUS，ANSYS，NASTRAN中，都还没有特别的索单元，在这些软件平台所提供的验证及示例手册中，给出了一些索结构的示例，建议用户采用常规结构的杆单元等对索结构进行分析。目前唯一提供了专业索单元的大型通用软件仅有SAP2000，在SAP2000中引入了基于悬链线的索单元，然而在应用中也有诸多的限制，如建议用户尽量对一条悬索仅用一个索单元，尽量避免复杂变化的载荷等，否则建议使用一般杆单元或框架单元。

因此，有效、通用的索单元的开发依然是当前有限元单元开发中的一项急需解决的课题。

5 讨论及展望

在之前的章节中，我们对目前索单元的发展状况做了一个简单的小结，综合其中的一些优缺点提出几点在今后索单元开发中的问题:

1)在过去的三十年中，很多索单元的开发都是注重于减少计算自由度，而做了相当多的简化，同时也容易引起很多收敛性问题和连续性问题，随着计算能力的提高，有必要将研究重心转移到数值收敛性和精度提高的方面;

2)在以往绝大部分索单元开发的过程中都仅仅关注于静态、静力分析方面的验证，对动力学分析缺乏比较和验证，而在实际应用中随着对风载、地震载等越来越多的考虑，有必要在单元开发的阶段就更多地考虑动力学分析的需要;

3)绝大部分索单元都仅考虑轴向力而忽略弯曲和扭转等特性，然而随着索结构应用范围的扩大，部分学者已经注意到[10］，在一些特殊索结构，如水下索结构中，弯曲影响是不能忽略的，在新型索结构的开发中有必要对此进行适当的考虑。

基于以上几点，笔者注意到近年来新兴发展起来了一类无旋梁单元[11，12］，这类梁单元仅有平移自由度而无转动自由度，与传统杆单元自由度数相同，且在处理几何大变形时收敛效果好，可以考虑弯曲影响且计算效率高，能较好地满足索单元开发中的以上几个方面要求，可以作为一种有发展前景的新型索单元。

6 结语

本文对目前的索单元进行了较为完整的分类归纳与总结，对比了不同单元的特点和应用，在此基础上提出了未来新型索单元开发中需要解决的几个方面问题，并指出了采用无旋梁单元作为新型索单元这一新的开发方向。

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