用图解法研究天体运动中的共线次数——赏析2010年上海高考(大纲卷)物理第24题

张 波

(江苏省口岸中学,江苏泰州 225321)

图1

原题.如图 1,3个质点 a、b、c质量分别为 m1、m2、M(M ≫m1,M≫m2).在 c的万有引力作用下,a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动,轨道半径之比 ra∶rb=1∶4,则它们的周期之比 Ta∶Tb=_______;从图示位置开始,在b运动一周的过程中,a、b、c共线了________次.

各种资料上都给出了本题的答案及解析,原解析如下:

第2空的解析(1)是:当b转动一个周期,a转动8个周期,在第1个周期内,三者共线1次,最后一个周期共线1次,其他每个周期共线2次,共计 14次.解析(2)是:在 b运动1周的过程中,a运动8周,由于共线不单指在同一侧还有异侧,所以在b转动1周的过程中 a、b、c共线了 14次.

答案:Ta∶Tb=1∶8,14 次.

笔者发现解析(1)有不当之处,解析(2)的讲解比较含糊,现用作图法对本题进行了探究.通过以上分析知道 a、b的周期之比为1:8,图中只给出了 a、b的相对位置:a超前b一定角度.设 a的周期为T,则b转一周所用的时间为8 T,设初始时 a超前b位置,如图 1所示(说明:图中坐标轴和直虚线将 a、b、c所在的平面均匀分成 8等份).

在[0-T)时间里相遇的位置如图2所示,从图中看出相遇1次.

图1

图2

在[T-2T)时间里相遇的位置如图 3、图 4所示,从图中看出相遇2次.

图3

图4

在[2T-3T)时间里相遇的位置如图6、图7所示,图5是2T时刻两球的位置.从图中可以看出相遇2次.

图5

图6

图7

图8

图9

图10

在[3T-4T)时间里相遇的位置如图9、图10所示,图8是3T时刻两球的位置.从图中可以看出相遇2次.

在[4T-5T)时间里相遇的位置如图12所示,图11是4 T时刻两球的位置.从图中可以看出相遇1次.

图11

图12

在[5T-6T)时间里相遇的位置如图13、图14所示,从图中可以看出相遇2次.

图13

图14

在[6T-7T)时间里相遇的位置如图16、图17所示,图15是6T时刻两球的位置.从图中可以看出相遇2次.

图15

图16

图17

图18

图19

图20

图21

在[7T-8T)时间里相遇的位置如图19、图 20 所示,图 18、图21分别是6T和8T时刻两球的位置,从图中可以看出相遇2次.

从以上分析可以发现,共线一次的情况并不一定发生在第一个周期和最后一个周期,而是发生在某一个 T时刻两者共线的前或后,如果说将共线的 T时刻算到前面的T时间里,则会在下一个 T时间里共线1次,继而推之,如将共线的 T时刻算到后面的T时间里,则会在前一个 T时间里共线1次,所以对于第2空的解析(1)笔者认为是值得商榷的.