加筋结构动力特性和动力响应分析

赵望胜 刘 澔 叶建新

在土木工程中，由于基体材料的性能不足，大量使用各种加筋材料来增强和改善结构的力学性能。加筋结构中加筋材料与基本材料作用方式复杂，选择合理的有限元模型便于模拟加筋构件布置的情况，可以很好的模拟加筋构件与基本材料之间相互作用情况，实现对加筋结构进行动力特性和动力响应分析。

目前，在实际过程中，总伴有不同类型的阻尼力，产生这种阻尼力的因素可归结为两个方面:1)外部介质的摩擦阻尼力;2)结构内部变形时的内耗。由于材料结构组成复杂，导致阻尼力性质很复杂，这类振动力学计算尚没有很好的解决。

1 动力学的精细积分算法

一般而言，确定线性系统的动力方程可写为:

其中，M，C，K分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵;f(t)代表激励，假设自由度为n，将式(1)写成状态方程:

对式(2)，它的解可写成如下形式:

对式(3)进行数值离散，并假设时间步长Δt=tk+1－tk，则第k+1步时的响应公式可写为:

对式(4)可作如下变形:

在式(5)中，T=exp(ΔtH)，它可用数值方法精细计算而得。为使式(5)也能直接进行数值计算，可用数值积分方法将其式中的第二项算出。在这里，选用格式较为简单同时精度又较高的辛普森积分法，也即:

其中，Tt=exp m(0.5ΔtH)，所以式(4)可变为:

式(7)即是计算系统响应的迭代公式。

2 模型

加筋构件静力学算例问题，如图1所示。混凝土一端固定，另一端一节点处受有集中力作用，混凝土的弹性模量E=2.0e10、密度 ρ=2 400 kg/m3、泊松比 v=0.3，钢筋弹性模量 E=2.0e11、密度 ρ=9 000 kg/m3、截面面积 0.08 m2、泊松比 v=0.3。集中力F=1.0e4。

图1 加筋结构示意图

图2 加筋结构的无阻尼自由振动

图3 无钢筋结构的无阻尼自由振动

图4 无钢筋结构和加筋结构的无阻尼自由振动比较

3 模型结果和分析

针对如图1所示的模型，在这里为了表示结构自由振动模型的准确性，选取加筋结构在荷载作用下的位移作为结构自由振动的初始位移，而速度假设为0。可以理解为加筋结构受到静力荷载后突然释放的自由振动，这种情况更适合实际情况。阻尼C=1.0e－2M+2.0e－4K(M，K分别为结构的质量阵和刚度阵)。图2，图3是加筋结构和不考虑加筋结构在初始位移激励下的无阻尼自由振动，图4是考虑钢筋和不考虑钢筋结构的无阻尼自由振动对比示意图。

图5 加筋结构的固有频率对数曲线

从图4可以看出，加了钢筋后，结构抵抗振动的能力变强，也说明钢筋对整个结构的固有频率有增大的作用。为了更直观的说明这个问题，在求解出结构(加筋和非加筋结构)的质量阵和刚度阵之后，就可以得到其固有频率，如图5，图6所示。

图6 无筋结构的固有频率对数曲线

图7 加筋结构有阻尼自由振动

表1是得到结构的刚度阵和质量阵后，求解出来的结构的部分自振频率。从表1的频率对比可以看出，加筋结构的自振频率比无筋结构的自振频率要大，这也说明了钢筋对结构有刚度贡献，从而提高了结构的自振频率。图7是有阻尼的自由振动结构的示意图，从图7可以看出位移有规律的逐渐衰减，这正是所期待的结果。

表1 加筋和无筋结构的固有频率比较

4 结语

状态方程直接积分法不仅用于求解在线性激励、简谐激励作用下系统的动力响应，还可以求解在一般荷载作用下系统的动力响应;不仅可以用于求解线性系统的动力响应，还可以用于求解非线性系统动力的响应计算，且精度高，速度快。

为有阻尼和无阻尼结构振动计算分析带来极大的方便，进而解决加筋结构中加筋的布置，从而为提高结构稳定性分析研究做出了理论计算分析价值。算例就是很好表明了加筋后结构的稳定性明显提高。

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