第二类计算机构想

杨正瓴

(天津大学电气与自动化工程学院，天津 300072)

0 引言

未来的超级计算机到底是怎样的?在简要回顾现有的各种计算机基础上，本文主要对“第二类计算机”进行初步的构想。著名物理学家费密(Enrico Fermi)说［1］:“做理论物理计算有两种方法。第一种是对所计算的过程有一个清晰的物理图像，这是我喜欢的方法。另外一种是有一个精确的自洽的数学形式。”本文将重点放在“一个清晰的物理图像”上，即主要提出一种概念性的构想。并且尽可能采用直观的自然语言。为弥补可能引起的“精确的自洽的数学形式”方面不足，有关概念的严谨数学表述请参考本文列出的各相关文献。

1 数学准备

1.1 康托定理(Cantor，1878 年)

对任何集合A，它的幂集P(A)的复杂性(基数)是A的基数的指数方式，即|P(A)|=|2A|=2|A|。P(A)由所有A的子集(A的部分)构成。

康托定理的另外一种表述为:

下面各集合 A，2A，22A，……中的任何两个，都不具有相同的基数［2～4］。

依此，康托构造了无穷基数第二序列

a，c，f，h，i，b，……，其中，a 为全体自然数集的基数，c=2a为全体实数集的基数，f=2c为全体几何曲线集的基数［3］。为方便，接着记 h=2f，i=2h，b=2i。

这个序列是这样构造的:首先选可数无穷集，它的基数为a，这样的集合有全体自然数集、全体整数集和全体有理数集等;这种集合幂集的基数为c，它是全体实数集的基数，或连续统的基数等;进一步，基数c集合幂集的基数为f，它是全体几何曲线集的基数，一切只取0或1为值的单值实变函数集合的基数等。人脑的常规复杂性为h，社会运动的复杂性为i［5］。

1.2 Chaitin定理(1974年)

一般认为，Chaitin定理是歌德尔第一不完备性定理(Gödel's first incompleteness theorem，1931 年［3，4］)的信息论形态下的具体化。

对于由0、1字符串构成的形式逻辑系统［6］。

(1)在一个n位公理的形式系统中，不能证明复杂性高于n+cT的命题。这里cT是一个常数。

(2)相反地，在n+cT位公理的形式系统中，可以证明那些复杂性不高于n的命题;并且可以构造出复杂性等于或高于n的命题，尽管不能证明它们。

(3)不幸地，对于一个可以证明的命题，会遇到下面两种困难之一:在一个位数少的公理系统中，需要一个难以置信长的证明过程;想得到一个短的证明过程，则需要一个难以置信长位数的公理系统。

1.3 Kuratowski定理(1930 年)

一个有限无向图是平面图，当且仅当它不含有与 K5或 K3，3同胚的子图［4，7］。Kuratowski图 K5和K3，3如图 1 所示。

图1 Kuratowski图 K5 和 K3，3

以下是工作介绍。

2 超级计算机分类方法

这个方法发表在1999年《哲学研究》［5］，有关细节还可见参考文献［8，9］。相关要点回顾如下。

国家自然科学基金委员会的发展战略报告指出:“从一般意义上说，任何物理过程中的信息活动都是某种计算，都和其他运动形式中的信息活动有某种共性，计算的本质是一种模拟。因而有人指出，不能把计算归结为符号变换，应该弄清形式符号系统和连续信号处理系统之间的异同［10］。”

1981年Nobel生理及医学奖得主Sperry的研究表明:“大脑两半球在功能上有明显的分工，左半球同抽象思维、象征性关系和对细节的逻辑分析有关，它具有语言(包括书写语言)的、理念的、分析的、连续的和计算的能力，它能说、写和进行数学计算，在一般功能方面它主要是分析，犹如计算机一样。”“右半球则与知觉和空间有关，处理单项的事物而不是数理的排列。它具有音乐的、绘画的、综合的、整体性和几何 － 空间的鉴别能力［11，12］。”

这些实验研究结果，以及包括康托定理、Chaitin定理和歌德尔不完备性定理在内的诸多现有理论研究［13］，都为超级计算机的研究提供了坚实基础。

2.1 现存科学、不同思维方式的复杂性的一种分层方法

命题1(科学、思维方式的复杂性分层方法):各种科学、思维方式，按信息复杂性可以归入下面序列(*)中的某个元素，并相应地称为第某类系统。

这里信息复杂性的度量，选为该系统基本结构的基数。

显然，类型编号高的科学与思维方式比编号低的信息能力强得多，二者是不能近似相等的。这样一种划分，十分类似于两千多年前老子《道德经》“修观第五十四”中的观点:“故，以身观身，以家观家，以乡观乡，以国观国，以天下观天下，吾何以知天下之然哉?依此。”老子在这里提出了一种“分层”和“相似”的认识方法论。

老子明确指出:①对于某种复杂性的客观世界，应该用与之类似的复杂性工具去研究它，不能使用复杂性低的工具去研究复杂性高的问题，即不能“以身观家”。②客观世界的复杂性并不都一样，它们之间有质的差别，“身”和“家”的复杂性就处在不同的层次。③某个复杂性层次内的事物，有内在的相似性，可以根据这种相似性来研究它们。

命题1可以进一步约束为“广义丘奇－图灵论题”，或者应该更公正地称为“老子论题”。“广义丘奇－图灵论题”既不是丘奇也不是图灵建立的，甚至他们是反对这种思想的(丘奇－图灵论题［3］:所有合理的计算机彼此等价)，而是仿照老子思想建立的。这是将命题1的分层思想运用到“可计算性、计算复杂性”理论领域的结果。

2.2 超级计算机分类方法

命题2(老子论题，或称作广义丘奇－图灵论题):任何智能计算机器，可按其信息复杂性归入序列(*)中的某个元素，并相应地称为第某类计算机器。

这里信息复杂性的度量，选为该系统基本结构的基数。并且:

(1)同一编号的不同计算机模型的能力彼此相当，具有某种相似性。

(2)编号大的计算机比编号小的计算机，在可解性或计算复杂性这两个方面(或其中之一)有本质性的提高，彼此并不等价。

(3)同一编号的不同计算机模型，可以以该编号的复杂性为上限互相模拟，还可以以不超过该编号的复杂性模拟编号低的计算机。反之，编号低的计算机，只能以“指数方式”或“指数的指数方式”等高的复杂性模拟编号高的计算机。

将命题2仅限制在第0类，可以得到原来意义上的丘奇－图灵论题。

众所周知，丘奇－图灵论题只是一种直观信念，不能加以证明［3］。类似的问题还有AI中含混性极强的关于智能判断的“图灵测试”:它测试的是“符号能力”，但人类的许多智能是“非符号”的。时至今日，这些信念实际上已经开始成为人类智能、智能机器研究的束缚。

2.3 一些直观解释

现有的数字计算机，即目前最流行的计算机，是第0类计算机。它以有限个0、1字符串作为基本计算单元。

模拟系统(如模拟计算机［14］)，是第一类计算机。它以实数作为基本计算单元。由于模拟计算机的灵活性、计算精度等限制，目前已经很少使用。当前热点研究的量子计算机［15］，也是第一类计算机。1个量子位可以出现从0到1数值的波状重叠，因此一个n位量子位可以同时存储2n个不同的数值，因此量子计算可以通过一次操作产生个2n结果。

人眼的视觉功能，是第二类复杂性。“当大量的生物物理机制以极复杂的方式相互作用时，可以认为是对神经元的输入进行一种非线性计算。而且在不同状态下，同一神经元可以对输入信息进行几种不同的计算。”“人们很容易低估生物计算的难度及复杂性。……真正令人惊奇的是:即使是一些相对低层次的计算(如将两只眼睛的信息结合在一起形成双眼视觉、颜色计算、运动计算、外缘检测等等)，也有难以置信的复杂［10］。”几何光学计算系统，如现有的“4f系统”［16，17］，属于第二类计算机。

一个直观的对比:电影胶片(第二类)，比模拟电视(第一类)清晰度高;模拟电视比数字电视(第0类)清晰度高。这就是日本首先采用模拟电视进行高清电视研究的原因;由于目前没有高精度的模拟计算，所以日本人没有成功。美国人的高清数字电视，是采用无损、有损压缩，以及采用巨复杂硬件后获得的有限效果。众所周知，传统胶片摄影的清晰度，明显高于现有的数字摄影。

进一步的推断:人脑的常规复杂性为h，社会运动的复杂性为i，各星际文明间融合的复杂性为b。这是人类现有文化能够显式想象出的6个复杂性层次［5］。

3 “P对NP”的一个答案

一般认为，《集合论》是整个现代数学的基础，至多“范畴论”除外。康托定理在计算复杂性方面的一个具体表现或变形，就是著名的7个Millennium Problems中的第4 个:P vs NP(P 对 NP)［18］。“P 对 NP”还是2005年美国著名的Science杂志公布的当前人类最需要解决的前25个难题中的第19个(The Top 25:What are the limits of conventional computing?)［19］。

“P对NP”的介绍，请看文献［20～23］等。这里首先回顾笔者1995年报告内容的要点［24］，之后介绍其后的相关认识。

这里“P对NP”是原本意义上的问题。对于实数环上的计算机(第一类计算机)，1989年由著名数学家Steve Smale等人建立了其上的计算复杂性理论，并且构造了相应的“P对 NP”［25］。沿着这条思路，我们还可以建立第二类计算机的可计算性、计算复杂性理论等。但本文不再进行这些具体的工作。

3.1 1995年报告要点回顾

记DTM为确定型图灵机(deterministic Turing machine);NDTM 为“非确定型图灵机”(non－deterministic Turing machine)。示意图分别如图2、图3所示。

(1)“P对NP”不能被直接证明。它实际上是3个问题的合成:

①对于NDTM，PA=NPA;

②对于DTM，PB≠NPB;

③“P对NP”具有独立性，不指明在那种计算机理论里进行研究。

(2)对于DTM，PB≠NPB，是通常研究的核心。

从数学研究的整体方法看，“P对NP”是属于“数”的范围。既然在“数”的方法下没有获得明确答案，就应该转移到“形”的方法进行研究。对于第一个NPC，即布尔可满足性问题(SAT，boolean satisfiability problem)，不难发现，在图论模型下，2SAT一定是平面图，3SAT及4SAT则可能包含Kuratowski图K3，3，是立体图。而5SAT可能包含 Kuratowski图 K5和 K3，3，也是立体图。

这种数、形结合的研究思路，不仅来自恩格斯的数学定义;还直接受到笛卡尔采用代数来研究几何的方法的启发:解析几何的创立。

(3)在无穷化版本下，NPI的存在性，就是“连续统假设CH”［4］:可数无穷基数a和连续统基数c之间是否存在一个其他的无穷基数。

(4)超级计算机分类理论(见本文2.2超级计算机分类方法)。

3.2 其后的认识

(1)用旅行推销员问题(TSP，travelling salesman problem)，可以比用SAT更直观地说明“P对NP”的关系。所有顶点度数为2的TSP，称为2TSP。显然，2TSP只能是一个回路，或者若干不相交的回路。因此2TSP是平面图。相反，3TSP或更高的各TSP，可能包含与K5或K3，3同胚的子图，不是平面图。

(2)在无穷版本下的非确定型图灵机NDTM，不是平面图。它包含至少与K3，3同胚的子图。

(3)完全证明:“P对NP”关系的多样合理答案，启发人们用“完全证明”作为未来数学证明的新标准。由于任何证明都是依赖特定的、未加证明的逻辑系统，因此所有“证明”都是相对的［4］。

一个“完全证明”是指，证明一个命题，需要同时给出下面的3种情况:

①在某个指定的逻辑系统或数学系统，该命题成立。即被证明。

②在另外某个指定的逻辑系统或数学系统，该命题不成立。即被否证。

③如果没有指明所采用的逻辑系统或数学系统，该命题既不成立，也不不成立。即独立性。

“完全证明”并非一种实质上的新发明，而是将现有大量具体的数学证明实践，进行理性提炼得到的看法。即从现有的大量的“自发”，到“自觉”的一种转变。歌德尔不完备性定理、Chaitin定理，对这种“自觉”的提炼提供了重要的数学基础保证。

3.3 对“四色定理”的个人看法

康托定理在地图绘制着色方面的一个具体表现，就是著名的“四色定理”。因为“四色猜想”已经被计算机证明为成立。

一般地，对于n个相异元素，最多可以形成2n种独立关系。因此，对于“点”，只有0个自由度，最多需要20=1种颜色就可以完全区分;对于直线，有1个自由度，最多需要21=2种颜色就可以完全区分;对于平面，有2个自由度，最多需要22=4种颜色就可以完全区分;对于立体块，有3个自由度，最多需要23=8种颜色就可以完全区分。

4 第二类数学初步与第二类计算机的直观概念

直观地，自然数在通常意义下的加减乘除，构成有理数域，这里称为第0类数域。一个实数可以看成至多可数无穷多个(a个)自然数的序列;实数在通常意义下的加减乘除，构成实数域，这里称为第一类数域。一条“几何曲线”可以看成c个实数的序列;本文将定义几何曲线的加减乘除，构成第二类数域。

“几何曲线”在本文特指“定位实曲线”。其含义为:形状相同的曲线，若在实平面上的位置不同的话，则被认为是不同的曲线。这样一条曲线，可以抽象为一个f数或第二类数。

4.1 “第二类数”——f数

定义3 f数(或第二类数):定义一条“定位实曲线”为一个f数。或者说，一个长度不超过c的实数序列，构成一个f数。

全体f数构成集合F。

注释:从数的历史看，人们在古希腊时就已经抽象出“自然数”，这是“第0类”数。后来，人们发现了像这样的本质上比自然数复杂得多的数。为此，据说Hippasus惹怒了Pythagoras学派的众学者。他们把Hippasus扔到大海里，以消除这一发现的“坏影响”［26］。随着历史的进步，无理数的合理性已不容怀疑。于是，人们将“无理数(实数)”定义为一个有理数的序列。例如，可用{1，1.4，1.41，1.414，……}去逼近(这是 G.Cantor的方法)，或将“实数定义为一切有理数的分划之集合 R=，(=Φ)”(R.Dedekind，1872 年)［4］。简言之，分割有理数导致了实数。实数系是完备的，在其中再作分划或再作柯西序列，都不会得到新的数。实数与直线上的点可以一一对应，在这个意义上称实数系具有完备性，也因此称实数系为连续统［3，4］。

那么，现在的问题是，由于实数系的完备性，对实数的分划不再导致新的数。这提示人们，反其道而行之，对实数的扩充可得到一种新的“数”——基数为f的数“f数”，即本处的定义3。而且，这样的数具有线性序，可构成有序的阿基米德域。它完全具备数的要求。

定理4(f数中的线性序≤):根据良序定理［2～4］，每一个集合都能良序(线性序)，即，对于∀集合A，∃P(A)－{φ}上的一个选择函数，它可良序A。

f数间的线性序可按字典序建立［2，4］。

下文记 x，y，z，…∈F。

(1)由于x，y，z，…均为有序实数序列，分别取其最左端元素(为两个实数)，按通常意义下的“≤”确定x，y间的序关系。若x的最左端元素≤y的，则定义 x≤y，否则，定义 y≤x。

(2)若x，y中的最左端元素相同，则比较它们的次左端元素，可依此确定它们之间的序关系。

(3)若x，y的元素数目不等，如x实数点的数目小于y的，且x是y的子序列，则定义x≤y。

证明:不难验证这样确立的序关系满足“自反性”、“反对称性”、“传递性”及“任给 x，y，x≤y或y≤x总有一个成立”，即全体f数构成一个线性序。

由于f数为不超过c个实数点的序列，因此，对任意2个f数，可按字典序的方式确定其间的序关系。例如，按通常意义下的“≤”确定序关系。

例如，为直观，令 x={e，2，π}，y={7，2，π}，z={e，2}，对于 x，y，因为 e＜7，故 x≤y;对于 y，z，因为 e＜7，故 z≤y;对于 x，z，因为 e=e，2=2，而且 z包含在x中，故 z≤ x。x，y，z间的序关系为 z≤x≤y。而且有，因为有z≤x以及x≤y，所以有z≤y。

定理5:全体f数(或第二类数)集合上的域F0。

下文记 x，y，z，…∈F。

容易验证下述关系成立，即F集上有一个域F0。

(1)x+y=y+x

(2)x+(y+z)=(x+y)+z

(3)0+x=x+0=x

(4)存在 －x，使 x+(－x)=(－x)+x=0

(5)x·y=y·x ，x·(y·z)=(x·y)·z

(6)x·(y+z)=x·y+x·z

(7)存在1≠0，使1·x=x·1=x

(8)对每个 x≠0，都有 x－1，使 x·x－1=x－1·x=1

证明:加法、乘法为通常意义下的函数加法、乘法。即x+y定义为实平面上横坐标相同时的x、y的纵坐标的实数加法。x·y也作类似地定义。值得注意的是，为方便，其中0元素为全体横轴;1元素为横轴的平行线，位于横轴上方，距离为1。

由定理4、5可知，全体f数(或第二类数)集合具备数的基本性质，即线性序，而且其上可建立阿基米德有序域。故称这个域为数域F0。相应的数称为f数(或第二类数)。

注释:第二类数学是我们首次提出来的，目前尚未见到相同或类似的工作。

数域F0由“二维实平面上的通常意义下的定位实曲线的加法、乘法”构成。由于一维实空间可以和n维实空间建立一一对应关系［3］，因此选二维实空间，完全是为了最直观、最方便。显然，“n维实空间上的通常意义下的定位实曲线(或曲面)的加法、乘法”，也构成了不同维数的空间上的元素的基数为f的域，并且它们和域F0是等价的。它们的信息复杂性都是f，即第二类的。

4.2 “第二类计算机”的直观概念

定义6(第二类计算机):能够把“定位实曲线作为基本单元”进行加减乘除等运算的计算机，定义为第二类计算机。或者说，第二类计算机是以“定位实曲线”，即f数为基本单元进行运算的计算机。

人类的视觉功能、信息光学中的4f系统，是第二类计算机的一些实际表现。

第二类计算机对复杂问题的求解能力有质的提高。例如，决定长度为n的Presburger命题的真伪性，DTM需要至少“指数的指数次幂”方式22kn的时间;量子计算机需要至少“指数次幂”方式2kn的时间;第二类计算机只需要O(n)的时间。这里，k为某个常数。

关于第二类计算机的可计算性，还需要更多的研究。“停机问题”是逻辑系统的局限性，在第二类计算机里仍然存在。

图像识别(人脸、指纹等)、运动物体定位与跟踪等，在第二类计算机上的速度将得到飞跃性提高，这是它在战争中有效应用的管窥之一。

4.3 一些推论

推论7(高精度实数实现方法):现有的数字计算机，实际上是模拟量的特殊使用。一般地，将一个连续变化的实数量，人为划分为2种状态，尽管这大幅度降低了实数的能力，但却获得了数字值0、1的高精度、高可靠性实现。类似地，将“定位实曲线”(f数)人为划分为c种状态，尽管这大幅度降低了f数的能力，但却获得高精度、高可靠性的实数实现。

因此，第二类计算机除了可以直接进行一定精度的f数计算外，还可以经过特殊处理退化为高精度、高可靠性的模拟计算机。

5 第二类计算机发展历史简要回顾

由于作者水平，这里回顾的只是作者知道的。相信还有其他重要观点，未能在这里出现。

(1)1878年的康托定理，是导致超级计算机分类的基本理论。

(2)大数学家 J.H.Poincaré(1854－1912)在1887年获得瑞典和挪威国王Oscar II的悬赏征答的“天体力学中的n体问题”奖的时候，就发现在万有引力作用下的多体运动问题，轨道的数量超过实数的数目c。这其实不难理解，天体轨道的(曲线的)数目可以达到f。“天体力学中的n体问题”，是著名“三体问题”的一般形式。

(3)在《集合论》中，对于包含“空集Ø”和“全集1”的集合，以及定义在其上的“对称减”和“交”(分别作为“加法”和“乘法”)，可以构成一个环［2，27］。令 x，y，z，… 该集合中的元素，并定义对称减 x+y=(x－y)∪(y－x)，交 x·y=x∩y两种运算，则有下述环公理满足:

这是一个一般的环［2，27］。显然，将 x，y，z，...作不同的复杂性的解释，可以得到各种复杂性的环。若将x，y，z，...解释成“几何曲线”，可以得到一个第二类复杂性的环R0。

(4)K.Gödel说过:没有一个在特定分辨率层次上形成的知识系统，能够完全解释那个层次，必须具有一个高层元知识才能完全解释它。然而，当我们着手去构造这个更一般的元知识时，它也要求更高一层的元－元知识去解释它［28］。

(5)几何光学计算。如信息光学中的4f系统［16，17］，就是现有的典型“第二类计算机”。

(6)在20世纪80年代，陈霖院士提醒我们:“在各个历史时期，由于对人脑的奥秘一无所知或所知甚少，人脑总是被比拟成那个时期最先进的人类的技术成果。远的不说(比如，把人脑比做水力机械，比做自动钟表，比做电话交换机，等等)，在这里我们只谈一下50年代初期，随着维纳控制论的创立，把人脑比做控制和通信系统中的通讯道的类比［12］。”“拓扑性质检测的实验支持这样的论点:视觉整体像的变换，而不是离散符号操作的计算，可能在视觉过程中起着重要作用［12］。”

(7)钱学森认为［12］:“思维学又可以细分为抽象(逻辑)思维学、形象(直感)思维学和灵感(顿悟)思维学3个部分。”“人们常说语言是思维的工具，所以语言先于思维。现在对形象思维的研究表明，只是抽象思维靠语言，形象思维不靠语言，形象的感知是只可意会，不可言传的。幼儿心理学也证明，形象思维先于语言，也先于抽象思维。”“以相关函数的分布来识别图形，这个方法计算量非常大，显然不是人脑用的方法，人脑识别图形几乎是瞬时的!”“如果逻辑思维是线形的，形象思维是二维的，那么灵感思维好象是三维的。”“关于视觉的认知心理研究，陈霖同志认为，图象或者模式识别是跟图形象的拓扑学有关系，是一个整体分析问题。”

(8)尽管实际上早就存在模拟计算机［14］，但有关的复杂性理论研究却明显滞后。1989年才由著名数学家Steve Smale等人建立实数环上的计算复杂性理论［25］。它是对DTM的本质性扩充。粗略地说，DTM是第0类计算机;Smale等人建立的是第一类计算机的复杂性理论。

自然地，再往下就是建立第二类计算机理论。

(9)近年笔者发现，1965年L.Zadeh建立的“模糊集合理论”，是现有的“第二类数学”的退化形式。不难发现，隶属函数为连续函数的模糊集合，本质是对“一条曲线”的整体掌握。因此这样的模糊集合，是第二类数的退化形式。因此，模糊控制成为实用中最有效的两种控制方法之一，并被近年美国人用于火星自动车的控制，有其必然性。这是“第二类数学”能力胜过现有有理数、实数理论的直接实践表现。

(10)近年笔者发现，大家都熟悉的几何学，都是以特殊形式的曲线为基本元素的。即:几何图形，是f数的一种具体解释。所以几何学也是“第二类数学”的特殊形式、退化形式。

1872年F.Klein提出了数学史上著名的埃尔朗根纲领(Erlangen program)，他把到当时为止已发现的所有几何统一在变换群论观点之下，明确地给出了几何的一种新定义，把几何定义为一个变换群之下的不变性质［4］。埃尔朗根纲领实质的一种第二类数学理解:某些f数，可以构成群。

6 结语

根据集合论中康托定理等，定义“定位几何曲线”为f数，并建立了相应的数域F0。这是对实数、实数域的一种本质性扩充。以f数为基本运算单元的计算机，是第二类计算机。人类的视觉、信息光学中的4f系统，就是第二类计算机的一些实际表现。

未来的第二类计算机，除了可以直接进行“定位几何曲线”的一定精度计算外，还可以在特定的退化情况下构成高精度、高可靠性的模拟计算机。第二类计算机是比现在热点研究的量子计算机能力更强的计算机。

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