具有限时滞种群发展方程的稳定性区域判定

王 健，岳锡亭，王 雪

（1.长春工业大学 基础科学学院，吉林 长春 130012；2.吉林农业大学发展学院 基础教研室，吉林 长春 130600）

0 引 言

对于具有有限时滞的种群发展方程

分别在（τ，D）平面，（τ，r）平面以及（r，D）平面来讨论平衡解的稳定性以及稳定区域划分。

1 稳定性区域划分

对于方程式（1），可知其平衡点为N＊＝k，作代换＝N＊－k，代入方程式（1），并为方便记，仍用N来表示，有

其线性部分为：

易见式（2）有特征函数eλtcosnx，由此得特征方程［1］：

令λ＝ωki，代入式（2），分离实部和虚部，可得方程组：

再由式（4）的第二个方程可知ζk只能在第二象限。

2 考虑3个平面稳定性区域的划分

在n＝1的情况下，考虑3个平面稳定性区域的划分。

2.1 在（τ，D）平面的稳定性区域划分［2］在方程

可见h（ζk）为单调递增的函数［3］。

在k＝0时，由式（4）第2个方程h（ζ0）＝0，可得：

由式（4）第1个方程g（ζ0）＝0，可得：

在k≠0的一般情况下，易知：

可见D对τ为增函数。

稳定性的划分：当τ＝0时，λ＝－D－r＜0，在第一条存在纯虚根的曲线C0的左侧所有根都有负实部［4］，在Ck上时，此时对λ＋D＋re－λτ＝0两边对τ求导，得：

可知，Ck上的纯虚根±ωi在C0左侧化为负实部的根，右侧化为正实部的根，可以证明C0上其余根都有严格的负实部［3］。

若假设C0上的某点（τ1，D1）处的特征根为σ＋ω0i（σ＞0），根据根与参数的连续相依性和孤立性，对充分小的正数ε＞0，在（τ1－ε，D1）处这个根的实部仍大于零，但与（τ1－ε，D1）位于C0左侧，而C0左侧均化为负实部的根矛盾［6］。所以，C0上除一对纯虚根外，其余根均具有严格的负实部。平衡解在（τ，D）平面的稳定区域如图1所示。

图1 （τ，D）平面的划分

2.2 在（τ，r）平面的稳定性区域划分

在k＝0时，由式（4）第1个方程g（ζ0）＝0，可得：

由式（4）第2个方程h（ζ0）＝0，可得：

在k≠0的一般情况下，易知：

式中对τ求导（D是常数）得：

可见，r对τ为减函数。

又由于

可知C0左侧为稳定性区域［7］，平衡解在（τ，r）平面的稳定区域如图2所示。

图2 （τ，r）平面的划分

2.3 在（r，D）平面的稳定性区域划分［8］

当k＝0时，由式（4）第2个方程h（ζ0）＝0，可得：

由式（4）第1个方程g（ζ0）＝0，可得：

再由λ＋D＋re－λτ＝0，两端同时对r求导，可得：

则

可知C0左侧为不稳定性区域，右侧为稳定区域。平衡解（r，D）在平面的稳定区域如图3所示。

图3 （r，D）平面的划分

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