表面式永磁电机气隙磁场分析

卢晓慧， 梁加红

(国防科技大学机电工程与自动化学院，湖南 长沙 410073)

0 引言

永磁电机因具有结构简单、运行可靠、高效节能等优点，在航空航天、工业自动化等领域获得了越来越广泛的应用。气隙磁场分析是永磁电机设计及性能分析的基础。电机磁场分析有多种方法，可分为数值法［1－2］、解析法［3－8］和几种方法结合的混合法［9－12］。有限元数值法是一种准确计算电机内磁场分布的有效工具，但处理过程复杂，计算时间较长，在工程实际中的应用受到限制［7］。解析法计算时间短，不需要复杂的前处理过程［8］。常用的解析法有保角变换法［3－5］、分离变量法［6，8］、等效磁路法［13］等。其中，等效磁路法常存在模型不精确的问题。文献［3］虽然采用许克变换准确分析电机磁场，但讨论的待确定场的多角形形状相对简单，对电机的定子槽做了相应的简化，很难得到永磁电机磁场精确解析解。

针对表面式永磁电机齿槽结构复杂，应用许克变换法计算电机磁场分布时，常将电机齿槽结构做了相应简化，本文将12槽10极表面式永磁电机气隙磁场分为定子绕组和永磁体产生的气隙磁场两部分。基于许克变换，借助许克变换工具箱将电机不规则空气间隙转化为几何上简单区域，分析表面式永磁电机定子绕组气隙磁场。将永磁体简化为线电流，应用许克变换工具箱分析永磁体气隙磁场。然后在此基础上，应用叠加原理，合成表面式永磁电机气隙磁场，并将计算结果与有限元仿真结果进行比较。

1 基本原理

许克变换是保角变换的一种，其思想是将多角形内(外)域变换至另一个平面上(下)半平面［14］，如图1所示。具体描述如下:

P为多角形Γ内一点，其中，多角形Γ有n个顶点分别为 ω1，…，ωn，对应的内角为 α1π，…，αnπ。f为H+到P的保角映射，其中f(∞)=ωn。对复常量A、C 有

式中:ωk=f(zk)，k=1，…，n －1;z=x+jy、ω =u+jv分别表示z、ω平面内的复数。

图1 许克变换原理示意图Fig.1 Block diagram of the SC transformation theorem

磁场中若将相互正交的磁力线和等位线分别用二维函数来表示，并将两个二维函数分别作为复变函数的实部和虚部，由麦克斯韦理论可知，它们均满足拉普拉斯方程，则该复变函数是解析函数，可借助该解析复变函数来求解磁场［15］。

若复平面z的某区域D内存在一复变数z=x+jy(x、y为实数)为变量的函数 ω =f(z)=φ +jψ(φ、ψ为实数)，则称ω是z的复变函数，即

通常称φ(x，y)和ψ(x，y)为共轭调和函数。另外，可以证明，若f(z)为解析函数，且f'(z)≠0，φ=常数和ψ=常数是两组相互正交的曲线族，由于与磁场分布具有相同的形式，因此可以称φ为通量函数，ψ 为磁位函数［16］。

根据电磁场定义可知

式中Hx和Hy分别为x、y方向的场强。

又因为 φ(x，y)和 ψ(x，y)为共轭调和函数，满足柯西—黎曼条件，由式(3)可得

由式(4)、式(5)可得

式中“*”代表共轭。

2 定子绕组气隙磁场分析

利用许克变换来求解磁场分布的思想是首先找出一个简单且分布已知的磁场，然后建立待确定场与已知场之间任意点的对应关系，再把已知磁场的分布通过这种对应关系映射到待确定场上，从而可以得到待确定场的分布情况。

通过两次许克变换，将定子绕组气隙磁场转化为单无限大平面线电流产生的磁场，其变换关系如图2所示。

图2 定子绕组气隙磁场变换关系Fig.2 Relation of the magnetic field distribution from the armature winding currents in th slotted air gap of SMPM motors

2.1 两无限大平行平面内线电流磁场分析

由镜像法可知，位于两无限大平行边界之间线电流在该区域中形成的磁场，由该线电流形成的磁场和两个无限大平行面镜像的无数个电流所形成的磁场叠加而成。求解无数个电流所形成的磁场并非易事，而靠近单无限大平面线电流所形成的磁场由该线电流和平面内的一个镜像线电流所确定，求解磁场分布相对简单，利用许克变换将两无限大平行平面内线电流形成的磁场映射到单无限大平面线电流形成的磁场上，如图2所示。利用镜像法得到靠近单无限大平面线电流所形成的磁场分布为

式中:I为线电流值;μ1为上半平面的磁导率;μ2为下半平面的磁导率;t为所求磁场的位置;ta为线电流所在位置。假设下半平面的磁导率无限大，即μ2≫μ1，式(7)可以简化成

利用许克变换建立图2所示t平面的实轴边界与z平面由两无限长平行线构成的多角形边界的变换关系，然后根据t平面线电流形成的磁场分布来求解z平面的线电流磁场分布。

根据式(1)，得到许克变换的方程为

z平面内两无限大平面的距离为L。取t=－∞、t=∞的点分别与z=∞ +jψ0及z=∞的点相对应，t=－1的点与z=jL的点相对应，t=0的点和多角形在z=－∞处的顶点相对应，多角形在z=－∞处的内角为零。因此，有

由式(8)、式(10)得到z平面的磁场分布

式中:za为z平面中电流所在位置;G为常数。

根据电磁场理论可知，z平面中两无限大平面的磁位差为I/2，为了使z=0时，imag(wz)=0，z=jL时，imag(wz)=I/2，可取G= －，代入式(11)中得到z平面中线电流产生的磁场为

根据式(6)得到z平面线电流产生的磁场强度

2.2 电枢电流磁场分析

由于12槽10极表面式永磁电机具有对称性，对其进行简化如图3所示，所得结果可以推广到整个电机。

图3 表面式永磁电机M平面简化图Fig.3 Simplified model of the SMPM motor in the M plane

定子电枢绕组在电机气隙中产生的磁场与定、转子的材料导磁率以及形状有关。其中，定子和转子为导磁材料，其磁导率远大于气隙磁导率，而永磁体的磁导率近似等于气隙磁导率。因此，在分析绕组磁场时先不考虑永磁体材料的影响。图3中多角形由52个顶点组成，按逆时针方向对每个顶点进行编号，其在 M 平面的坐标为(ai，bi)，ai、bi分别表示第i个顶点的横坐标和纵坐标。采用复平面坐标表示多角形顶点为

利用许克变换工具箱［17］中函数p=polygon(v)，创建M平面的多角形p。利用函数f=crrectmap(p，α)求出z平面多角形到M平面多角形的许克变换映射函数。变换后的z平面多角形顶点数量保持不变，其中α为z平面多角形顶点对应的内角。上面已经求出两无限大平行平面内的磁场分布，因此，选取已知多角形为矩形，如图4所示。此时，顶点1、2、3和52的内角为π/2，其余各顶点的内角为π，则

图4 表面式永磁电机z平面图Fig.4 Rectangle in the z plane

z平面内的点z0在M平面内对应的点m0=f(z0)。利用函数z0=evalinv(f，m0)求得z平面内与M平面相对应的点。图4中z平面矩形下方区域由电机转子变换得到，矩形上方区域由电机定子多角形变换得到，中间区域为电机气隙多角形变换得到。假设z平面中定子和转子区域的导磁率远大于气隙的导磁率，则气隙磁场分布的边界条件和两无限大平面之间磁场的边界条件相同，因此，z平面中气隙磁场的分布可以通过式(12)求解，气隙磁场强度可以由式(13)求出。根据保角变换定义可知，变换前后对应点的磁场分布相同，即

由文献［14］可知，变换前后磁场强度的关系为

式中:df/dz可通过函数evaldiff(f，z)来实现。气隙磁感应强度Bm(m)=μ0Hm(m)。采用许克变换工具箱求解M平面电机气隙磁场强度步骤为:

1)利用函数z0=evalinv(f，m0)求M平面内电流I在z平面中的对应位置zI;

2)利用函数 zsolve=evalinv(f，msolve)求 M 平面中需要求解磁场强度的点msolve在z平面中的位置zsolve;

3)利用式(13)得到z平面中zI位置处电流作用下zsolve点的磁场强度值Hz(zsolve);

4)利用式(17)将Hz(zsolve)变换得到M平面中msolve点的磁场强度值Hm(msolve)。

2.3 有限元验证

给表面式永磁电机B相通电，利用许克变换和有限元法得到电机M平面气隙中线段Γ1上的磁感应强度，如图5所示。其中，图5(a)和图5(b)分别表示Γ1切线方向和法线方向的磁感应强度值。

图5 电枢电流在Γ1上的磁感应强度分布图Fig.5 Magnetic flux density from the armature winding currents along Γ1using SC transformation and FEM

由图5可知，利用Matlab许克变换工具箱得到的结果和有限元计算的结果相同，因此，利用许克变换工具箱来计算定子电枢绕组电流产生气隙磁场是正确、可靠的。

3 永磁体气隙磁场分析

分析永磁体在气隙中产生的磁场时，可以将永磁体进行等效处理。

3.1 永磁体等效为面电流

磁介质经过外磁场磁化后产生磁化强度M，在介质体内和表面形成束缚电流，对于均匀磁化介质，束缚体体电流为零，仅产生束缚面电流，因此图6(a)所示永磁体可等效为图6(b)所示面电流，其表面电流密度为

式中:n为面电流表面法线方向的单位向量;hi为等效面电流臂的厚度。

图6 永磁体等效示意图Fig.6 Equivalent diagram of the permanent magnet

对于具有近似线性去磁特性的永磁体(例如稀土永磁体)，面电流密度im=HC，此时永磁体的磁导率为

式中:HC为矫顽力;Br为剩磁;β1为去磁曲线1的倾角，如图7所示。

图7 永磁体去磁曲线图Fig.7 Demagnetization curve of the permanent magnet

为了简化分析，将实际的去磁曲线1用另一条去磁曲线2来代替，且其磁导率为真空磁导率μ0，有

式中β2为去磁曲线2的倾角。曲线2与曲线1相交于0.75Br点。

通常为了充分利用永磁材料和不被电枢磁场过去磁，电机的工作点通常选在0.5Br～Br之间，这里取平均值0.75Br。在这个范围内，由图7可得工作点磁密的最大误差ΔBmax为

假设相对磁导率 μr/μ0=1.1，则0.025Br，即最大误差小于2.5%。本文研究的永磁体相对磁导率一般小于1.1，所以用上述方法近似处理永磁体满足工程所需精确度。

利用电磁场有限元分析软件Maxwell建立永磁体模型及等效面电流如图8所示。建立一个环形磁路，磁路由铁轭、永磁体和气隙组成。其中，铁轭为导磁材料，永磁体为钕铁硼材料。气隙长度为1 mm，永磁体磁化方向的高度hm=3 mm，钕铁硼的磁化强度M=9.788×105A/m，等效面电流的壁厚hi=0.1 mm。

图8 永磁体等效模型示意图Fig.8 Equivalent model of the permanent magnet

利用有限元仿真得到两个气隙磁场中线段1的磁感应强度B分布如图9所示。其中，横坐标为线段1的长度，纵坐标为线段1上磁路方向即y轴方向的磁感应强度值。

由图9可知，两个磁场中线段1上的磁感应强度值近似相等，线段1两边处的磁感应强度相等，而在线段1中心处等效面电流磁场的磁感应强度大于永磁体的磁场。

图9 气隙磁场中线段1的磁感应强度分布图Fig.9 Magnetic flux density along the line 1

3.2 面电流等效为线电流

为了简化许克变换计算，将等效面电流密度im简化成nmw匝线电流线圈，如图6(c)所示。

等效线电流线圈中电流的安匝数与等效面电流的电流值相等，即

式中:Im为等效线电流;nmw为线圈匝数。根据式(18)得到等效线电流为

定义等效线电流线圈的密度ηm=nmw/hm，则等效线圈的电流可改写成

进一步分析可知，若不断增加等效线电流线圈的密度，当密度趋近于无穷时，等效线圈将会变为等效面电流。因此，等效线圈的密度越大，与永磁体磁场的近似性越好;反之亦然。有限元仿真得到不同线圈密度下线段1上的磁感应强度与永磁体产生磁场的误差曲线，如图10所示。

由图10可知，等效面电流磁场的误差最小，最大误差小于2.5%;等效线电流线圈密度ηm=6.67×103匝/m时，最大误差小于3%，随着等效线电流线圈密度不断减小，与永磁体磁场的最大误差不断增大，当ηm=1×103匝/m时，最大误差超过20%。一般为了满足工程需要，最大误差不超过10%。在进行许克变换时，为了提高计算精度，取等效线圈磁场的误差不超过5%，即等效线电流线圈密度ηm＞3.33×103匝/m，等效线电流线圈匝数nmw＞10。

图10 不同线圈密度下的线段1上磁感应强度误差曲线Fig.10 Error curves of magnetic flux density along the line 1 under different line current densities

3.3 有限元验证

将12槽10极表面式永磁电机中永磁体等效成线电流线圈如图11所示。

图11 电机永磁体等效线圈示意图Fig.11 Equivalent coils of the permanent magnets

利用许克变换工具箱得到永磁体等效线圈产生的气隙磁场如图12所示，其中，图12(a)和图12(b)分别为永磁体产生的磁场在Γ1切线方向和法线方向的磁感应强度。

由图12可知，利用许克变换工具箱计算得到的永磁体气隙磁场与有限元仿真结果吻合。由于许克变换忽略了永磁体非线性特性，有限元计算的结果略小于许克变换的结果，但气隙磁场的磁感应强度最大误差小于8%，满足工程计算的要求。

图12 永磁体在Γ1上的磁感应强度分布图Fig.12 Magnetic flux density from the permanent magnet along Γ1using SC transformation and FEM

4 表面式永磁电机气隙磁场分析

给12槽10极表面式永磁电机定子绕组通三相交流电，其中，A相电流值为－15A，B相电流值为15A，C相电流值为0，电机转子位置如图3所示，电机线段Γ1上的磁感应强度值分布如图13所示。

图13 永磁电机在Γ1上的磁感应强度分布图Fig.13 Magnetic flux density along Γ1using SC transformation and FEM

由图13可知，利用许克变换工具箱计算得到的表面式永磁电机气隙磁场与有限元仿真结果吻合。因此，利用许克变换工具箱来计算表面式永磁电机气隙磁场是准确、可靠的。

5 结语

本文将12槽10极的表面式永磁电机气隙磁场分为定子绕组产生的气隙磁场和永磁体产生的气隙磁场。利用许克变换及其工具箱将电机不规则气隙转化为几何上简单区域，得到了定子绕组气隙磁场分布。并将永磁体产生的磁场等效成线电流线圈产生的磁场，应用许克变换工具箱得到了等效线圈不同线电流密度下的气隙磁场分布，通过对比永磁体产生的气隙磁场，得到等效线圈的线电流密度需要大于3.33×103匝/m才能满足工程计算的精确度要求。最后，叠加定子绕组和永磁体产生的磁场得到表面式永磁电机气隙磁场分布，其结果与有限元仿真结果对比，两者相吻合，其结果为进一步分析永磁电机的各种工作特性提供了参考。

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