电枢槽口宽度对内置式永磁同步电机齿槽转矩的影响

杨玉波， 王秀和， 朱常青

(山东大学电气工程学院，山东济南250061)

0 引言

随着高性能永磁材料的出现和现代电机控制技术的发展，永磁电机以其高效率、高功率密度等优势得到越来越广泛的应用。但是永磁电机中，永磁体和有槽电枢相互作用，引起电机内磁场能能量的变化，产生齿槽转矩、振动和噪声，影响系统的控制精确度，因此关于齿槽转矩的产生机理、计算方法和削弱措施一直是中外学者的研究热点。目前对于齿槽转矩的分析计算方法一般有两种，解析法和有限元法。解析法难以考虑饱和、漏磁以及复杂结构等因素，影响了其计算的准确性，但是解析法能够揭示结构参数的变化对齿槽转矩的影响，能够得到指导性的规律［1－2］，因此得到了广泛的应用［3－7］。有限元法能够考虑漏磁、饱和以及复杂结构的影响，可准确计算齿槽转矩。但是采用有限元法时，必须计算至少一个齿槽转矩周期，为了保证计算的精确度，必须保证足够小的步长，并且研究结构参数变化对齿槽转矩的影响时，需不断重复整个计算过程，耗时较长，并且计算结果只针对特定模型，很难得到具有指导性的规律［1］。

由于效率高、能量密度高，内置式永磁同步电动机在控制系统中得到了广泛的应用。由于内置式永磁电机的有效气隙小等因素的影响，齿槽转矩的影响更大［1］。文献［8－13］中研究了极弧宽度、磁极形状、极弧系数组合、转子轴向分段等方法对内置式永磁电机齿槽转矩的影响。

本文研究槽口宽度对内置式永磁电机齿槽转矩的影响。槽口宽度的变化会引起气隙磁导的变化，通过合理的选择槽口宽度能够削弱齿槽转矩。文献［14］中，作者采用解析法建立了表面式永磁电机的气隙磁导模型，推导得到了削弱齿槽转矩的槽口宽度确定方法，作者指出由于采用了简化模型，解析计算的槽口宽度并不能削弱齿槽转矩，提出的解析法实用价值不大。文献［15］中，作者推导了相对气隙磁导的解析表达式，得到了气隙磁场的表达式。文献［16］中作者建立了气隙磁场的一维解析模型和气隙磁导的表达式，得到了对齿槽转矩有影响的气隙磁导的傅里叶分解系数，得出了槽口宽度计算方法。

现有的槽口宽度对齿槽转矩影响的研究主要针对表面式结构，采用解析法，但是解析法的难点在于难以准确的确定有效气隙长度。有限元法能够准确的计算齿槽转矩的大小，但是对于不同槽口宽度，需建立不同的模型，对于每个模型需要计算足够多的点，计算量非常大。为了兼顾准确性和计算量，本文将解析法与有限元法相结合，采用解析法确定对齿槽转矩有影响的气隙磁导平方的傅里叶分解次数，采用有限元法计算该傅里叶分解次数，进而确定了最佳槽口宽度。

1 齿槽转矩解析表达式

齿槽转矩可以表示为电机内的磁场能量W相对于位置角α的导数，假设铁心的磁导率无穷大，

电机内的磁场能量可近似为永磁体与气隙内磁场能量之和。基于相对气隙磁导和气隙磁密平方的傅里叶变换，可推导得到齿槽转矩的解析表达式［7］为

式中:z为定子槽数;LFe为电机轴向长度;R1和R2为气隙的内半径和外半径;μ0为真空磁导率;GnNp为相对气隙磁导平方的傅里叶分解系数;Br(nNpz/2p)为永磁体产生的气隙磁密平方的傅里叶分解系数，Np可表示为

其中:p为极对数;h为最大公约数。

气隙相对磁导的平方和气隙磁密平方的特定的傅里叶分解系数对齿槽转矩有重要影响，因此齿槽转矩的削弱措施主要分为两类，一类是通过改变永磁体的气隙磁密，削弱对齿槽转矩有影响的傅里叶分解次数Br(nNpz/2p)，一类为改变相对气隙磁导，削弱傅里叶分解次数GnNp，通过改变槽口宽度削弱齿槽转矩的方法属于第二类。对于气隙相对磁导的平方的傅里叶分解系数中，只有nNp次对齿槽转矩有影响。槽口宽度的变化导致了气隙相对磁导的变化，进而影响了齿槽转矩的大小。因此，为了研究槽口宽度的变化对齿槽转矩的影响，可简化为研究其对GnNp的影响，可进一步简化为对最低次谐波 GNp的影响。

2 基于有限元的GNp计算

目前采用解析法分析相对气隙磁导的方法中，一般对有效气隙长度进行简化，很难得到准确的槽口宽度确定方法［14－16］，本文采用有限元法计算。气隙磁密［15］可表示为

式中:Λ(φ)为气隙相对磁导率;F(θ，φ，z)为气隙磁压降。对于内置式永磁同步电动机，每极中心位置处，气隙磁压降为常值，因此槽口宽度对气隙磁密的影响可以体现其对相对气隙磁导的影响。本文采用有限元法计算不同槽口宽度时，气隙中心线处的气隙磁密，对其平方后傅里叶分解，即可得到槽口宽度变化对GNp的影响。本文采用两种内置式结构永磁同步电动机为例，说明槽口宽度的确定方法，样机模型结构如图1所示，分别为4极9槽和4极15槽结构。两模型共同的参数为:电机极数为4极，电枢槽数为9/15槽，定子外径为100 mm，定子内径为52 mm，转子内径为20 mm，转子外径为51 mm，气隙长度为0.5 mm，铁心轴向长度为50 mm，永磁体剩磁为0.95 T，矫顽力为764 kA/m。

图2为有限元计算模型，磁极中心线与槽中心线对齐，只需计算位于磁极中心位置处一个齿距的气隙中心线的气隙磁密。图3为计算得到的一个齿距内的气隙磁密的分布。

图4为4极9槽内置式永磁电机(Np=4)G4和齿槽转矩幅值随槽口宽度的变化曲线，其中槽口宽度与齿距的比值ν为

式中:bo为槽口宽度;τp为齿距。

图4 齿槽转矩幅值与G4随槽口宽度变化曲线(4极9槽)Fig．4 The amplitude of cogging torque and G4 with slot-opening(4-pole 9-slot IPM)

可见G4和齿槽转矩幅值随槽口宽度的变化有完全相同的变化规律，能够使得G4减小的槽口宽度同样能使齿槽转矩的幅值减小。对于4极9槽电机，槽口宽度与齿距之比ν=0.28时，G4和齿槽转矩的值都很小。不同ν值时的齿槽转矩对比如图5所示。

图5 不同槽口宽度齿槽转矩的对比(4极9槽)Fig．5 The comparison of cogging torque with different slot-opening(4-pole 9-slot IPM)

图6为4极15槽内置式永磁电机(Np=4)不同槽口宽度时，G4和齿槽转矩幅值的变化规律，可见G4与齿槽转矩幅值随ν有相同的变化规律，两者在ν=0.275时都取得最小值。不同ν值时，齿槽转矩的对比如图7所示。

表1为本文计算结果与文献［14］中解析计算结果的对比，其削弱效果在图4和图6中有对比，本文得到的槽口宽度效果更好。对于4极9槽和4极15槽电机，虽然对齿槽转矩有影响的气隙磁导平方的傅里叶分解次数都为G4，得到的最佳槽口宽度与齿距之比并不完全相同。

以上对比表明，为得到槽口宽度变化对内置式永磁电机齿槽转矩的影响，可采用有限元法计算得到不同槽口宽度时的气隙磁密，得到槽口宽度变化对GNp的影响，能够削弱GNp的槽口宽度可削弱齿槽转矩。

表1 解析法与有限元法确定的槽口宽度对比Table 1 The comparison of slot opening calculated by analytical method and finite element method

3 槽口宽度对电机性能的影响

为了对比槽口宽度变化对电机性能的影响，采用有限元法计算了4极9槽内置式永磁电机不同槽口宽度时，相绕组的反电动势、同步电抗以及电磁转矩。相绕组总串联匝数为36匝，电机转速为1 000 r/min，图8为相电动势的基波和谐波的对比。可见，随着槽口宽度的增加，相电动势基波幅值略有减小，槽口宽度与齿距比值ν从0.2增加到0.325，相电动势的幅值减小2.76%，其3次和5次谐波的变化很小。表2为电枢电流21A时，不同槽口宽度时的铁耗、交直轴同步电抗和电磁转矩的计算结果，可见，由于电机转速较慢，槽口宽度的变化对铁耗的影响较小。随着槽口宽度的增大，齿部漏磁减小，交轴饱和加重，交轴同步电抗会减小。

图8 相电动势的基波和谐波对比Fig．8 The comparison of harmonics of phase EMF

表2 槽口宽度对性能影响Table 2 The effect of slot-opening on the performance of permanent magnet synchronous motor

4 结语

本文采用解析法和有限元法结合计算了槽口宽度对内置式永磁电机齿槽转矩的影响。采用解析法确定了对齿槽转矩有影响的气隙磁导平方的傅里叶分解次数，采用有限元法计算这些傅里叶分解次数的值，并将不同槽口宽度时的这些傅里叶分解次数与齿槽转矩的幅值进行了对比，两者随槽口宽度有相同的变化规律。最后，以两种内置式结构永磁电机为例，采用有限元法对进行了验证，计算结果表明，齿槽转矩的幅值和傅里叶分解次数有相同的变化规律，验证了本文结论的正确性。对反电动势、铁耗、交直轴同步电抗和电磁转矩的计算表明，槽口宽度对其影响不大。

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