Lagrange插指与Newton插指的注记

邹 乐， 李昌文

（1.合肥学院 网络与智能信息处理重点实验室，安徽 合肥 230601；2.淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000）

0 引言

插值在工程数值计算方面有着广泛的应用，如有限元方法中形函数的建立、科学计算可视化过程中图形图像的实现等都要用到插值理论。插值问题的实质是希望找到一个尽量简单的函数，如多项式函数去近似某个函数。然而对于有些问题，多项式函数虽然简单，却不便于计算，如求参数的最大似然估计值，为解决此问题，文献［1－5］提出了幂指数插值，简称插指。Lagrange插值公式构造简单、结构紧凑、思路清晰，但缺点是在等距结点插值过程中，当结点数较大时会表现出极大的数值不稳定性。此外，当插值结点的个数有变动时，Lagrange插值公式也随之发生变化，需重新构造，从而整个公式的结构也发生变化，这在实际计算中是极不方便的。为了克服上述缺点，文献［6－8］给出了2种解决办法：利用与之等价的Newton插值多项式进行计算；对传统的Lagrange插值进行改进，提出了改进的Lagrange插值和重心Lagrange插值。

本文对Lagrange插指多项式进行改进，提出了一种改进的Lagrange插指和重心型Lagrange插指，并讨论了Lagrange插指多项式与Newton插指多项式的相互转化问题。

1 Lagrange插指与Newton插指

1.1 Lagrange插指

设给定函数y＝f（x）及在区间［a，b］上的一组对应关系｛（x0，y0），（x1，y1），…，（xn，yn）｝，以n＋1个n次Lagrange插值基函数为基础，文献［2］构造出Lagrange插指多项式，并证明了次数不超过n的插指多项式唯一性。

文献［2］构造的Lagrange插指公式为：

其中，li（x）为在n＋1个节点上的n次基本插值多项式，或称作n次Lagrange插值基函数，即

同Lagrange插值多项式一样，Lagrange插指多项式在插指结点较少时，具有很好的插值精度，其存在的主要缺陷是：① 增加新的插指结点时，需要重新计算；② 当结点数量很大时，插指是数值不稳定的。

1.2 Newton插指

设函数y＝f（x）及在区间［a，b］上有定义且大于零，给定区间［a，b］上的一组对应关系｛（x0，y0），（x1，y1），…，（xn，yn）｝，文献［1］证明了存在唯一的一个n次Newton插指多项式，即

满足插指条件：

其中，ai（i＝0，1，…，n）为差商指；pi（x）＝（xx0）（x－x1）…（x－xi－1），i＝0，1，…，n。

2 改进的Lagrange插指与重心型插指

2.1 改进的Lagrange插指

（2）式的插值基函数li（x）的分子可以写成：

定义重心权为：

将（6）式代入（1）式，得到Lagrange插指公式的另一种表现形式为：）

（7）式称为改进的Lagrange插指公式，在增加一个新的插指节点时易于计算。

2.2 重心型Lagrange插指

利用Lagrange插值多项式插值常数1，可以得到的恒等式为：

利用（8）式可得到重心型Lagrange插指公式为：

重心型Lagrange插指多项式在分子和分母都包含插值权ωi，因此ωi的任何非零倍数仍是插值权。由（5）式可知，插值权仅依赖于插值结点的分布，因此对于一些特殊的结点分布可以得到简化插值权。

3 插指的相互转化

下面讨论Lagrange插指与Newton插指的相互转化算法。由（1）式得：

其中，ai（i＝0，1，…，n）是差商指；pi（x）＝（xx0）（x－x1）…（x－xi－1），i＝0，1，…，n。

差商可以由函数值线性组合表示［9］，可得：

因此，由Newton插指与Lagrange插指的转化变成如下线性方程组的解，即

利用Gauss消去法可得如下算法：

上述线性方程组也可以用作由Lagrange插指向Newton插指的转化算法。给定形如（10）式的Lagrange插指多项式可以计算Newton插指多项式（11）式中的系数ai。

如果当i≠j时xi≠xj，可以得到由Lagrange插指向Newton插指的转化算法为：

4 数值例子

以Runge函数f（x）＝1／（1＋25x2）为例，说明重心型Lagrange插指多项式的良好数值稳定性。在区间［－1，1］上令n＝100，以第2类Chebyshev点作为插指节点，插指计算区间［－1，1］上的2 000个点的近似值，利用 Matlab绘图，如图1所示。

通过大量的数值计算表明，对于等距节点重心Lagrange插指表现出极大的数值不稳定性，但是对于Chebyshev点的插指，重心型Lagrange插指具有极好的数值稳定性。

下面的例子说明了由Lagrange插指向New－

ton插指转化算法的有效性和可行性。

图1 Runge函数的重心型Lagrange插指

例1 求满足插指条件：y0＝f（0）＝（1－p）2，y1＝f（1）＝2p（1－p），y2＝f（2）＝p2的插指公式，其中0＜p＜1［3］。

由文献［2］易得满足插指条件的Lagrange插指为：

由此可得：

易见：

由Lagrange插指向Newton插指的转化算法（15）式可得：

故可以直接写满足插指条件的Newton插指为：

这与用文献［1］中方法所求结果完全相同，由Newton插指向Lagrange插指的转化算法（14）式可以由a0、a1、a2计算出σ0、σ1、σ2。

5 结束语

本文改进了Lagrange插指多项式，得到2种新形式的插指多项式：改进的Lagrange插指多项式和重心型Lagrange插指多项式。当增加新的插值节点时不需重新计算原有插指节点的Lagrange基函数。文中讨论了Lagrange插指多项式与Newton插指多项式的相互转化，给出了由Newton插指多项式向Lagrange插指多项式的转化算法以及由Lagrange插指多项式向Newton插指多项式的转化算法。

［1］颜宁生.牛顿（Newton）插指［J］.大学数学，2006，22（5）：107－113.

［2］颜宁生.Lagrange插指［J］.北京服装学院学报，2005，25（3）：50－56.

［3］颜宁生.连幂式插值［J］.数学理论与应用，2009，29（3）：103－105.

［4］邹 乐，唐 烁.二元Newton插指［J］.合肥工业大学学报：自然科学版，2010，33（2）：304－307.

［5］王兆清，李淑萍，唐炳涛.一维重心型插值：公式、算法和应用［J］.山东建筑大学学报，2007，22（5）：448－453.

［6］王兆清，李淑萍，唐炳涛.任意连续函数的多项式插值逼近［J］.山东建筑大学学报，2007，22（2）：158－162.

［7］Berrut J P，Trefethen L N.Barycentric Lagrange interpolation［J］.SIAM Review，2004，46（3）：501－517.

［8］Werner W.Polynomial interpolation：Lagrange versus Newton［J］.Math Comp，1984，43（167）：205－217.

［9］徐士良.计算方法［M］.北京：人民邮电出版社，2009：128－130.