α－混合相依函数型数据改良核回归估计的渐近正态性

陆晓恒， 石贤汇， 凌能祥

（1.合肥工业大学 数学学院，安徽 合肥 230009；2.铜陵学院 数学与计算机科学系，安徽 铜陵 244000）

0 引言

回归函数估计是数据分析中一个非常重要的问题，由于其在通信、控制系统、模式识别等很多领域都有非常广泛的应用，一直以来备受关注。在有限维场合，很多学者无论在独立同分布（i.i.d.）还是某种相依情形下，都对其进行了研究并且获得了卓有成效的结果，如文献［1－4］等。

最近几年，随着函数型数据在包括医学、经济度量学、环境度量学、化学度量学等各个领域的广泛应用，函数型数据的回归函数估计越来越受到人们的关注。文献［5］采用经典的 Nadaraya－Watson（N－W）核，对相依数据的函数型非参数回归模型进行了研究；文献［6］建立了相依函数型数据N－W核估计的渐近正态性的性质。关于函数型数据的分析可参考文献［7－8］；关于函数型数据非参数统计回归函数、条件分位数、条件众数核估计的详细分析可参考文献［9］。

设｛（Xi，Yi），1≤i≤n｝是同分布于（X，Y）的函数型数据，其中X在某个抽象的半度量空间E中取值，而Y取值于实值空间R。文献［5］和文献［10］引入的N－W核回归函数的估计定义为：

其中，K（·）为一实值的核函数；h＝hn为满足的窗宽参数；d（·，·）为空间E中的一个半度量。本文所研究的改良的核回归估计为：

其中，Ι（A）是集合A上的一个示性函数；bn满足当n→∞时，bn→∞。这个估计在文献［11］中进行了研究，并得到了一些相合性的结果。

定义1 若过程｛（Xi，Yi），i≥1｝的混合系数α（n）满足：

则称过程｛（Xi，Yi），i≥1｝为α－混合或强混合过程。

其中，Akj为随机变量｛（Xi，Yi），j≤i≤k｝产生的σ－代数。进而，若∃a＞0，C＞0使得：

则称｛（Xi，Yi），i≥1｝为阶a的算术α－混合；若∃t∈（0，1），C＞0使得：

则称｛（Xi，Yi），i≥1｝为几何α－混合。

本文的主要目的是就α－混合函数型数据在某些合适的条件下，获得改良的核回归估计＾r（x）的渐近正态性的性质。假设C是一个正的常数，在文中每次出现时，都可以取不同的值；c1、c2为2个正的常数。

1 一些记号和假设条件

设Ki（x）＝K（h－1d（x，Xi）），i＝1，2，…，n；B（x，h）是中心为x，半径为h＞0的小球。为了方便，先引入下列一些记号：

（1）（i）∀h＞0，P｛X∈B（x，h）｝＝φx（h），其中且φx（h）在原点的某个领域内关于h绝对连续。

其中，Cjx，j＝1，2为2个正的关于x的函数。

（3）对v≥1，都有E｜Y｜v≤C＜∞。

（4）（i）∃β＞0，使得对∀μ，ν∈E，有｜r（μ）－r（ν）｜≤Cd（μ，ν）β。

（ii）设g2（u）＝Var［Yi｜Xi＝u］，u∈E，在x的某个领域内连续且满足当h→0时，

（2）K（·）是满足0＜c1≤K（·）≤c2＜∞的支撑集为［0，1］的实值核函数，且满足：

设对某个m＞2有：

在x的某个领域内连续。

（iii）设g（u，v；x）＝E［（Yi－r（x））（Yjr（x））｜Xi＝u，Xj＝v］，i≠j，u，v∈E在（x，x）的某个领域内连续。

（5）对某个m＞2，p＞1－2／m有：

（6）设当n→∞时有nφx（h）→∞。同时存在正整数序列｛vn｝满足

条件（1）和文献［6］中的condition 3′不同，这里小球概率和联合密度函数都没有写成2个函数乘积的形式，更具一般性。条件（2）关于核函数的假设是很经典的，关于极限值的假设在文献［6］和文献［11］中都作了类似的假设。条件（3）～（6）都可以在文献［6］中找到类似的假设。

2 结论及其证明

为了更方便地叙述和得到相关结论，先给出一些引理，并对其进行证明。

证明 由文献［11］中Theorem 2的证明过程可知：于是根据un（x）的表达式可得：

首先对T1进行处理：

同时有：

由条件（4）的（i）可知：

于是，由条件（2）可得：

又由控制收敛定理知，当n→∞有：

因此，由（3）式、（5）式、（6）式有：

对T2进行处理：

其中，an＝o（n），下面将给出其具体形式。

对于T21：

由控制收敛定理知，当n→∞有：

又由条件（1）的（ii）、条件（2）和条件（4）的（iii），当n足够大的时候，可得：

从而当n足够大的时候有：

对于T22，利用文献［12］中Davydov’s lemma可得：

由控制收敛定理知，当n→∞有：

又由条件（2）和条件（4）的（ii），当n足够大的时候，可得：

综上（2）式、（7）式、（8）式、（11）式和（12）式，于是有：

引理2 假设条件（1）～（6）满足，则当n→∞时有：

证明 此引理的证明利用Bernstein大块小块过程，可参考文献［6］中Theorem 4的证明。

引理3 假设条件（1）、（2）和（5）满足且有，则

证明 此引理的证明参见文献［6］中Theorem 1的证明，需要注意的是小球概率和联合密度函数的表达形式不同。

引理4 假设条件（1）～（6）满足，则当n→∞时有：

于是由引理2和引理3可知结论成立。

下面给出本文的一个重要结论。

［1］Devroye L.On the almost everywhere convergence of nonparametric regression function estimate［J］.The Annals of Statistics，1981，9：1310－1319.

［2］Roussas G G.Nonparametric regression estimation under mixing conditions［J］.Stochastic Process Appl，1990，36：107－116.

［3］Roussas G G，Tran L T，Ioannides D A.Fixed design regression for time series：asymptotic normality［J］.Journal of Multivariate Analysis，1992，40：262－291.

［4］Tran L T.Nonparametric function estimation for time series by local average estimators［J］.The Annals of Statistics，1993，21：1040－1057.

［5］Ferraty F，Vieu P.Nonparametric model for functional data with application in regression，time series prediction and cure discrimination［J］.Journal of Nonparametric Statistics，2004，16（1／2）：111－125.

［6］Masry E.Nonparametric regression estimation for dependent functional data：asymptotic normality［J］.Stochastic Process Appl，2005，115：155－177.

［7］Ramasy J，Silverman B.Functional data analysis［M］.New York：Springer，1997：68－90.

［8］Ramasy J，Silverman B.Applied functional data analysis：methods and case studies［M］.New York：Springer，2002：42－78.

［9］Ferraty F，Vieu P.Nonparametric functional data analysis：theory and practice［M］.New York：Springer，2006：36－174.

［10］Ferraty F，Vieu P.The functional nonparametric model and application to spectrometric data［J］.Comput Stat，2002，17：545－564.

［11］Ling N，Wu Y.Consistency of modified kernel regression estimation for functional data［J］.Statistics，2010.doi：10.1080／02331888.2010.500077.

［12］Hall P，Heyde C C.Martingale limit theory and its applications［M］.New York：Academic Press，1980：23－52.