液压驱动冗余振动台自由度控制及内力协调

何景峰，李保平，佟志忠，杨宏斌，韩俊伟

(1.哈尔滨工业大学 机电工程学院，哈尔滨 150001;2.中兵光电科技股份有限公司，北京 100176)

高层建筑、桥梁、基础设施等大型结构在施工建设前，通常需要利用振动台进行抗震性能评估的模型试验。日本国家防震减灾中心(NIED)［1］于2005年，建成了目前世界上最大的六自由度(6－DoF)液压驱动振动台E－Defense，该振动台共有24个液压激振器，能够对5层建筑结构进行全尺寸试验。美国于2003年建造了世界上最大的室外振动台LHPOST，该振动台曾对7层建筑结构和大型风力发电设备进行了全尺寸抗震性能试验［2］。

对于大型振动台来说，普遍采用液压激振器驱动。而为了提高振动台的试验量级和有效载荷，大部分振动台采用了冗余驱动并联机构。近年来，国内建造了多个三向六自由度振动台，但这些振动台主要是从国外(如 MTS，Servotest、IST 公司)进口［3］。2005 年，哈工大电液伺服仿真及试验系统研究所［4］为中国物理研究院建造了一台六自由度液压驱动振动台。不过，对于具有多冗余驱动的大型振动台来说，国内还是个空白，而国外大型振动台厂家对国内存在技术封锁。为此，需要我国自主开展研制具有多冗余的大型振动台，以适应抗震减灾对建筑结构的性能试验要求。

冗余驱动振动台由于采用了冗余激振器，这些激振器如果控制不当，激振器之间将存在很大内力，会严重影响振动台的振动模拟效果［5］。为此，如何协调各个激振器的运动，尽可能降低或消除激振器间的内力耦合，对于大型冗余振动台具有至关重要的意义。韩俊伟［7］根据冗余振动台的结构特点，提出了采用自由度控制方式，并在中国地震局工程力学研究所的三向六自由度振动台中得到应用。关广丰［8］提出采用八自由度思想来解决冗余振动台的自由度控制问题。Zhao和Gao［9－11］分析了冗余驱动振动台的多刚体动力学、机构特性和机构设计问题。Tagawa［1］针对 E-Defense振动台给出了一种总体控制结构。作为冗余机构来说，Cheng［12］针对电动冗余机构，研究了该机构的动力学和计算力矩等控制方法。

本文根据冗余振动台机械和液压驱动系统的作用机理，首先建立冗余振动台的整体动力学模型，并根据液压驱动冗余振动台的结构特点，提出了自由度控制结构，并采用内力协调控制方法，对液压驱动冗余振动台激振器间内力进行协调控制。

1 冗余振动台自由度合成

本文所研究的冗余振动台结构如图1所示。该冗余振动台由运动平台、8套垂直激振器、8套水平激振器和反力基础组成。其中，水平激振器在纵向和横向分别对称布置4套激振器。激振器采用液压激振方式，每套激振器由伺服阀、对称液压缸、LVDT位移传感器和压差传感器组成。

图1 大型液压驱动冗余振动台Fig.1 The redundant actuated hydraulic shaking table

为了描述振动台的运动状态，在振动台的负载与运动平台的综合质心处建立两个直角坐标系，分别为惯性参考坐标系{g}:Ob-bYbZb和体坐标系{p}:Op-XpYpZp，体坐标系随着运动平台一起运动，而惯性坐标系始终保持不动。初始状态下这两个坐标系重合，如图2所示。

图2 冗余振动台激振器布置与坐标系Fig.2 The layout of actuators and the coordinate system of the redundant shoking table

该冗余振动台具有空间六自由度运动能力，分别为:X向平移、Y向平移、Z向平移，横滚(绕X轴旋转)Φ、纵摇(绕Y轴旋转)θ、偏航(绕Z轴旋转)Ψ。为了方便描述，将水平和垂直激振器进行编号，X向作动器的依次为 x1、x2、x3、x4，Y 向作动器为 y1、y2、y3、y4，Z 向作动器为 z1、z2、z3、z4、z5、z6、z7、z8。

这样，根据冗余振动台的结构布局，可以利用这16个激振器的位移来表示冗余振动台的自由度。当冗余振动台处于工作零位时(所有激振器处于其行程的中间位置，此时平台水平，记此时激振器位移为0 m，激振器上、下铰点间距为l2)，得到自由度的合成公式如下:

将式(1)～式(6)写成矩阵形式，即:

其中:

而根据式(1)～式(6)容易写出H的表达式，篇幅限制，这里不再列出。

2 冗余振动台逆动力学

对于冗余振动台而言，其负载连同运动平台的质量很大，而液压缸的活塞杆和缸筒质量相比之下要小得多，在建立冗余振动台逆动力学方程时，将活塞杆和缸筒质量忽略，这样冗余振动台就可看作一个单刚体系统。对于这样的单刚体来说，其动力学非常简单，利用牛顿－欧拉方程就可以直接得到其逆动力学方程。

由牛顿定律，平移自由度方向的力平衡可以描述为:

式中:fa为激振器出力组成的列向量;g为重力加速度向量;mP为上平台连同负载质量;Ln为激振器单位方向矢量组成的矩阵;t为体坐标系相对惯性坐标系原点的位移矢量，t=［X Y Z］T;··t 为体坐标系相对惯性坐标系原点的加速度矢量，

根据欧拉方程，旋转方向运动方程为:

式中:ω为上平台相对静坐标系的角速度向量;R为旋转矩阵;IP为上平台连同负载在惯性坐标系中的惯量矩阵，

式中:Ω为由角速度向量ω各元素组成的斜对称矩阵;

I为单位矩阵;AP为上铰点在体坐标系中的坐标矩阵。

式(10)可以写成冗余振动台的一般动力学方程的形式:

式中:MP(q)为质量阵，6 ×6;CP(q，q·)为哥氏/向心项系数矩阵，6×6;GP(q)为重力项，6×1;Jlq(q)为雅克比矩阵，16 ×6，简记为:

至此，我们就得到了冗余振动台的单刚体动力学方程，利用该方程可以对冗余振动台的动力学进行分析。对于冗余振动台而言，由于振幅很小，振动台位姿几乎处于工作零位附近，此时，Jlq(q)中的旋转矩阵近似为单位阵，即R=I，而激振器方向矢量lni与相应坐标轴平行，这样，Ln简化为由坐标轴单位向量组成，例如，In1=［1 0 0］T。

同时，注意到该方程是关于驱动力fa的非齐线性方程组，即:

其中:

由于未知变量fa多于方程数，该方程组是欠定方程组，具有无穷多组解。不过，它的最小范数解是唯一的，即:

另一方面，可以利用雅克比矩阵表示冗余振动台的自由度与激振器空间的速度变换关系，即:

3 冗余振动台整体模型

冗余振动台运动所需的驱动力由6套液压激振系统提供。6套激振器的动力学模型可以用向量形式的微分方程表示，可以写成下面几个方程。

(1)伺服阀流量方程

(2)激振液压缸流量连续性方程

式中，Cr为液压缸油液压缩系数

(3)激振器与载荷间的力平衡方程

方程式(16)～(18)中未标符号的物理意义见文献［13］。

上面分别得到了冗余振动台的单刚体动力学方程和激振器液压驱动系统方程。可以根据二者间相互作用关系，得到冗余振动台的完整动力学模型。

冗余振动台的运动主要由激振器来驱动，因此，激振器液压系统对冗余振动台刚体部分的输入作用为驱动力向量fa。冗余振动台刚体系统在该驱动力作用下，产生一定的位移、速度和加速度输出，并将运动回馈给激振器的液压系统。根据这样的作用过程，将式(12)、式(16)～式(18)联立，从而构成完整的冗余振动台系统模型，如图3所示。有了这一整体模型，可以对冗余振动台的特性进行分析，并在此基础上进行控制方法的研究。

图3 冗余振动台整体模型Fig.3 The integrated dymanic model of redundant shaking table

4 基于工作空间的自由度控制

对于冗余振动台而言，通常采用加速度控制方式，如文献［4］所述，采用三状态顺馈将加速度信号转换为自由度位置信号，因此，冗余振动台的控制核心问题是如何进行有效的位置控制。

从机构学上来讲，冗余振动台是一种冗余驱动并联机构。根据冗余驱动并联机构的运动学关系，可以构造如图4所示的面向工作空间自由度的控制结构。

由图4可见，冗余振动台的参考位移输入qd与由激振器位移输出l合成的自由度反馈信号比较，得到的偏差信号e在自由度位置控制增益Kp和雅克比矩阵的作用后，该自由度误差信号被分配给各套液压激振系统中，作为液压激振系统的驱动信号，各液压激振器的伺服阀在该信号作用下，产生相应的阀开口xv控制激振器产生动作，并最终推动振动台连同负载实现相应的运动。

图4 液压驱动冗余振动台自由度控制框图Fig.4 The DoF control diagram of the hydraulically redundant actuated shaking table

需要说明的是，该控制结构不同于Cheng［11］提出的用于伺服电机驱动冗余机构的控制结构。对于伺服电机驱动系统，通常采用PD控制方式。其PD控制输出为力矩信号，随后该信号经雅克比矩阵的伪逆的作用后，得到所需的伺服电机驱动力矩，并控制伺服电机达到该伺服驱动力矩要求即可。而液压驱动系统本质上是速度控制系统，常采用P控制而不是PD控制作为控制律，P控制输出是自由度偏差信号，采用雅克比矩阵将该误差变换为驱动系统的速度，并利用液压激振器加以复现，从而实现冗余振动台的自由度控制。可见，二者控制结构还是存在一定差异的。

5 内力协调控制

本文研究的冗余振动台具有6个自由度输出，而其激振系统却多达16个，是一种典型的多冗余驱动机构。我们知道，对于冗余机构来说，如果控制不当，各个激振器很难同时协调运动，这会在冗余激振器处将产生很大内力。为此，有必要对冗余驱动振动台的内力进行协调控制，这也被称为力平衡控制(Force balance control)。

冗余振动台的逆动力学问题本质上是求解一组非齐线性方程组，该非齐次方程组的通解由齐次线性方程组:

的通解和非齐线性方程组的一个特解组成，即:

根据冗余机构内力定义，振动台各个激振器内力表示为:

其中:ΔPL为激振器上下两腔的压差;A为激振器有效作用面积;W为内力矩阵，

内力协调控制就是通过采集激振器的两腔压差，通过式(20)得到激振器的内力，并将该内力反馈给激振器位置环，形成对位置的控制补偿，从而减小或消除激振器间存在的内力，使各个激振器协调一致地驱动运动平台及负载运动。增加内力协调控制后的自由度控制框图如图5所示。

6 仿真

本文研究的冗余振动台的运动平台台面为10 m×6 m长方形，各激振器上铰距平台边缘均为500 mm。平台连同负载总质量为50 t，平台与负载综合质心位于平台几何中心以上2 m处，对体坐标系的X、Y、Z三轴转动惯量分别为1.5 ×105 kgm2、4.2 ×105 kgm2、5.6 ×105kgm2，激振器最大行程为±200 mm，激振器采用活塞/活塞杆直径为150 mm/100 mm的双出杆对称液压激振器，伺服阀流量为400 L/min(7 MPa阀压降下)，油源压力28 MPa，冗余振动台的其他结构参数如表1所示。

表1 液压驱动冗余振动台系统参数Tab.1 Parameters of hydraulically redundant actuated shaking table system

根据前文建立的冗余振动台的整体模型，在Matlab/Simulink中搭建了该冗余振动台的仿真用数学模型，如图6所示。利用该模型能够对冗余振动台特性和控制效果进行分析。

图6 大型液压驱动冗余振动台Simulink模型Fig.6 The simulink model of the hydraulically redundant actuated shaking table

由于冗余振动台的各套激振系统结构和动态特性很难完全一致，这会直接造成激振器间不同步，从而会在激振器处产生内力耦合。

为了验证本文提出的内力协调控制效果，利用上述液压驱动冗余振动台Simulink模型进行仿真分析。图7(a)、图7(b)分别给出了未采用和采用内力协调控制时，冗余振动台做Z向运动时，各个激振器的油液压差。图8为采用内力协调控制前后，各激振器的内力情况。

图7 内力协调控制前后各激振器压差比较Fig.7 The comparisons of differential pressure in hydraulic actuators with and without inner force balance control

图8 内力协调控制前后各激振器内力比较Fig.8 The comparisons of inner forces in hydraulic actuators with and without inner force balance control

从图7和图8可见，未采用内力协调控制时，各激振器压差很大，最大达6 MPa，各激振器内力达60 kN，采用内力协调控制后，各激振器压差最大值小于3 MPa，激振器内力降低为10 kN，减小为原来的1/6。可见，采用本文提出的内力协调控制方法，能够有效协调各个激振器出力，使内力明显减小。

7 结论

本文根据该冗余振动台的机构特点，建立了液压驱动冗余振动台的完整动力学模型，并在此基础上针对液压驱动的特点，提出了液压驱动冗余振动台的自由度控制和内力协调控制方法。利用该控制方法能够使各个激振器协调出力，并明显减小各激振器内力耦合，这也必将有助于冗余振动台的总体性能的提高。

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