一种优化GM（1，1）模型及其应用

何 霞，刘卫锋

（郑州航空工业管理学院数理系，郑州 450015）

1 概述

灰色GM（1，1）模型是灰色系统理论的核心内容和方法之一［1，2］，目前该方法在经济、管理、社会和工程技术等多个领域得到了广泛的应用.由于灰色GM（1，1）模型本身也存在着一系列问题，因此许多学者提出了改进方法，其中，文献［3-5］通过优化背景值改进了模型，文献［6-9］通过选取和修正初值来优化模型，文献［10］通过遗传算法优化了GM（1，1）模型.但是，传统灰色GM（1，1）模型及以上优化GM（1，1）模型都使用最小二乘准则求解参数，而文献［11］研究发现使用最小二乘准则求解参数会出现严重的方程病态，从而使得模型的计算结果以及依据计算结果做出的结论的正确性和可信度大打折扣.为此，文献［12，13］利用最小一乘准则改进了求解参数的算法，从而克服了使用最小二乘准则求解参数会出现严重的方程病态的情况，提高模型的稳健性和预测精度.

在综合分析已有研究文献的基础上，采用文献［14］中的全最小一乘准则求解GM（1，1）模型参数，既克服了传统GM（1，1）模型的病态问题，也使得参数求解更加符合人们的直觉［14］，同时，在此将x（1）（n）作为初始条件，从而建立了背景值优化、全最小一乘准则参数求解和初值优化三者相结合的稳健性较好的GM（1，1）模型.此外，给出了全最小一乘准则参数求解的相应LINGO程序对初始值.最后，计算实例验证了文中优化灰色GM（1，1）模型的可行性与有效性.

2 灰色GM（1，1）模型建模机理

（1）GM（1，1）模型x（0）（k）+az（1）（k）=b的最小二乘估计参数列满足=［a，b］T=（BTB）－1BTY，其中

3 优化灰色GM（1，1）模型

为求解上述问题，在此使用LINGO软件，其程序如下:

现将上述背景值优化、全最小一乘准则参数估计和初始值优化结合在一起，就得到了优化灰色GM（1，1）模型.

4 应用实例

现使用文献［10］中昌吉市1982—1997年间的NOx年平均浓度监测值作为计算实例，如表1所示.通过建立文中优化GM（1，1）模型，然后与文献［10］中通过遗传算法建立的GM（1，1）模型，文献［12］中基于折扣最小一乘参数估计的灰色GM（1，1）模型，传统灰色GM（1，1）模型的计算结果进行比较.

由定理2，利用LINGO程序可以求出在全最小一乘准则下的参数=（－0.073 203 32，0.020 800 46），于是得到

现将所求的结果列入表1进行对比.

表1 模型的精度比较

从表1计算结果可以得知，在模拟和预测精度上，文中优化GM（1，1）模型均比文献［10］中遗传算法优化GM（1，1）模型和传统GM（1，1）模型均有较大改进，因此说明了该模型具有一定可行性和有效性.同时，表1显示，文中优化GM（1，1）模型在模拟精度上较文献［12］中改进灰色GM（1，1）模型有所改进，但是预测精度不如文献［12］中改进模型，而文献［12］中模型计算过于复杂，不如文中优化GM（1，1）模型易于计算.因此，文中优化GM（1，1）模型无论在精度上还是在计算上，都具有一定的优势.

［1］邓聚龙.灰色系统理论教程［M］.武汉:华中理工大学出版社，1990

［2］刘思峰，党耀国，方志耕，等.灰色系统理论及其应用［M］.5版.北京:科学出版社，2010

［3］谭冠军.GM（1，1）模型的背景值构造方法和应用（I）［J］.系统工程理论与实践，2000（4）:98-103

［4］陈永刚，杨定远，戴文战.基于背景值改进的GM（1，1）预测模型的研究及其应用［J］.浙江理工大学学报，2007，24（4）:444-447，460

［5］邱淑芳，王泽文.灰色GM（1，1）模型背景值计算的改进［J］.统计与决策，2007（2）:129-131

［6］罗党，刘思峰，党耀国.灰色模型 GM（1，1）优化［J］.中国工程科学，2003，5（8）:50-53

［7］张辉，胡适耕.GM（1，1）模型的边值分析［J］.华中科技大学学报，2001，19（4）:110-111

［8］李云贵，李清富，赵国藩.灰色 GM（1，1）预测模型的改进［J］.系统工程，1992，10（6）:27-31

［9］党耀国，刘思峰，刘斌.以x（1）（n）为初始条件的GM模型［J］.中国管理科学，2005，13（1）:132-135

［10］李祚泳，张明，邓新民.基于遗传算法优化的GM（1，1）模型及效果检验［J］.系统工程理论与实践，2002（8）:136-139

［11］郑照宁，武玉英，程小辉，等.灰色模型的病态性问题［J］.系统工程理论方法应用，2001，10（2）:140-144

［12］穆勇.灰色预测模型参数估计的优化方法［J］.青岛大学学报，2003，16（3）:95-98

［13］田林亚，赵小飞，何习平.灰色模型GM（1，1）的稳健算法及其应用［J］.吉首大学学报:自然科学版.2006，27（4）:47-49

［14］冯守平.全最小一乘法［J］.安徽大学学报:自然科学版.2009，33（3）:23-26