基于空间向量与立体几何创新思维研究

摘要：空间向量的内积、加减运祘，法向量的使用等方法形成一套异于传统几何的思考方式，对解决立体几何中诸如异面直线所成角、二面角、距离等与度量有关的问题，有其独到之处；对于中学生来说是一种应当具有的新思维方式。

关键词：空间向量；立体几何；度量问题；新思维

把中学数学教材中的空间向量知识用于解立体几何题，具有思路简洁、目标明确、化难为易的功效。空间向量的坐标化，空间向量的内积、加减运祘，法向量的使用等方法形成一套异于传统几何的思考方式，对解决立体几何中诸如异面直线所成角、二面角、距离等与度量有关的问题，有其独到之处；对于中学生来说是一种应当具有的新思维方式。

下面我们运用职业高中数学教材（邱维声教授主编、高教出版社出版）中的空间向量知识，试解2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷中的立体几何题，并在附录中给传统几何解法，供大家分析研究。

§1基本公式和基本解法

1. 对于非零向量a、b

a⊥b?圳a•b＝0

cos〈a，b〉＝

a=

2． 在标准正交基下，若向量a、b的坐标分别是（a1，a2，a3），（b1，b2，b3）则

a•b＝a1b1＋b3 a2 = a12＋a22＋a32

cos〈a,b〉=

a，b所在平面的法向量n的坐标是：

（a2 a3b2 b3,- a1 a3b1 b3,a1 a2b1 b2）＝（a2b3－a3b2，a3b1－a1b3，a1b2－a2b1）

n的指向由右手螺旋法则确定。

点p到平面?琢的距离d＝

其中p0∈平面?琢，n是平面?琢的法向量。

二面角的度数等于该二面角两半平面法向量所成角或其补角的度数。

两条异面直线l1 、l2的距离

d＝ m1∈l1,，m2∈l2 ；n 是直线l1 、l2的方向向量确定的法向量。

§2向量解法

例题1正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面边长为1、侧棱长为 ，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是（ ）

解: 由题意知E1E⊥ED, E1E⊥EF, ∠DEF=120°； C1C=E1E=， C1C∥E1E，CB=EF=1, CB∥EF,则 BC1=FE1 ，BC1∥FE1 (如图1)；

于是有

=

•= •=0

==, •=1

设对角线E1D与BC1所成的角是α,那么

cos 〈，〉= =

=

=

=

=

∴α=60°应当选择答案 B 。

例题2如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a （0﹤a﹤ ）。

（Ⅰ） 求MN的长；

（Ⅱ） 当a为何值时，MN的长最小；

（Ⅲ） 当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角 的大小。

解：（Ⅰ）如图2,过点M作线段MH⊥AB于H,由题意得 MH⊥平面ABEF, 即MH⊥HB, MH⊥BN；又由于两个正方形的边长均为1，CA=BN=a 可以算得AC= ，HB= ；MH= 。于是

• =• =0

那么由于• = (++)2

=()2+ ()2 +()2 +2•

=+ +a2+2• a cos135°

= a2- a +1

=a-+

∴MN =

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知：当 a= 时 MN = 即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长度最小，最小值为。

（Ⅲ）如图3，在空间中取一个基：、、，显然这是一个标准正交基。

有关向量在这个基下坐标分别是：

=（0，1，1） =（1，1，0）

=（0，-1，1）=（1，-1，0）

则，面MNA的一个法向量

n1= (1×0－1×1, 1×1–0×0, 0×1–1×1)=(-1,1,-1)；

面MNB的一个法向量 n2 =（-1×0+1×1，1×1–0×0，-1×0+0×0）=（1，1，1）；

设所求的二面角为α，则α=〈n1 ,n2〉（n1 ,n2的方向由右手法则确定，且同为顺时针或逆时针方向）；

∴ cosα=

=

=

= -

∴α=arc cos - .

例题3四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方型，PB⊥面ABCD

（Ⅰ）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；

（Ⅱ）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°

解：（Ⅰ）四棱锥的体积由几何法求得为 a2，过程略。

（Ⅱ）如图4, 在空间中取与、、同方向，长度为1的一组向量e1、e2、e3为一个基，显然这是一个标准正交基。

令正方形ABCD的边长为1, 四棱锥的高为a,有关向量在这个基下坐标分别是：

== (1,0,0)

=+ = (0,-1,a)

则，面PAD的一个法向量 n1=（0，-a, -1）

== (0,1,0)

=+ = (-1,0,a)

则，面PCD的一个法向量 n2= (a, 0, 1);

那么所求二面角的余弦值：

cos〈n1,n2〉=

=

= - < 0

所以，无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°。

参考文献

[1] 丘维声向量与中学数学教育 数学通报2002. 5

[2] 杨志龙从2001年高考试题谈向量引入中学数学 数学通报 2002. 7

[3] 空间解析几何引论主编：南开大学数学系《空间解析几何引论》编写组人民教育出版社出版

[4] 高等几何 主编：梅向明等 高等教育出版社出版

[5] 职业高级中学数学课本 主编：高存明 人民教育出版社出版

[6] 职业高级中学数学课本 主编：丘维声 高等教育出版社出版

[7] 普通高级中学数学课本 人民教育出版社中学数学室 编著人民教育出版社出版

作者简介：

彭丽娟（1983-），女，研究生，硕士，中级，研究方向：数学教育类。